レルヒの公式

$f(x)= \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} - \log \Gamma (x)$ とおく。

今この式を2回微分すると， $$f''(x) = \left. \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta (s,x) \right|_{s=0} - \dfrac{d^2}{dx^2} \log \Gamma (x)$$ である。

ここでそれぞれの式を計算していく。

1項目

$\zeta (s,x)$ は $C^{\infty}$ 級であるため，$x$ から微分してよい。（→ ゼータ関数は正則関数となるため，無限回微分可能になる。）

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial x} \zeta (s,x) &= -s \sum_{n=0}^{\infty} (n+x)^{-s-1} \\ &= -s \zeta (s+1,x)\\ \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \zeta (s,x) &= s(s+1) \sum_{n=0}^{\infty} (n+x)^{-s-2}\\ &=s(s+1) \zeta (s+2,x) \end{aligned}$$

これの式を $s$ で微分して $$\begin{aligned} &\left. \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta (s,x) \right|_{s=0} \\ &= (2s+1) \zeta (s+2,x)\\ &\qquad + s(s+1) \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta (s+2,x) \right|_{s=0}\\ &= \zeta (2,x)\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} (n+x)^{-2} \end{aligned}$$ となる。

2項目

ディガンマ関数 $\Psi (x) = \dfrac{d}{dx} \log \Gamma (x)$ の級数表示 $$\Psi (x) = \lim_{n \to \infty} \left( \log n - \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{x+k} \right)$$ を用いると $$\begin{aligned} \dfrac{d^2}{dx^2} \log \Gamma (x) &= \dfrac{d}{dx} \Psi (x)\\ &= - \dfrac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(x+n)}\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(x+n)^2} \end{aligned}$$ となる。

こうして $f''(x)=0$ とわかる。

微分方程式を解くと $f(x)=ax+b$ と表されることがわかる。

1. $\mathbf{a=0}$ を示す

$f(x+1)=f(x)$を示す。

これが示されたら，$a=0$が従う。

$$\begin{aligned} \zeta (s,x+1) &=\sum_{n=0}^{\infty} (n+x+1)^{-s}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty} (n+x)^{-s}\\ &= \zeta (s,x) -x^{-s} \end{aligned}$$

であるため，

$$\begin{aligned} &f(x+1) \\ &= \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x+1) \ \right|_{s=0} - \log \Gamma (x+1) \\ &= \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \left( \zeta (s,x) -x^{-s} \right) \right|_{s=0} - \log x \Gamma (x)\\ &= \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta (s,x) \right|_{s=0} + x^s \log x \mid_{s=0} - \log \Gamma (x) - \log x\\ &=\left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta (s,x) \right|_{s=0} - \log \Gamma (x)\\ &= f(x) \end{aligned}$$

2. $\mathbf{b= -\frac{1}{2} \log ( 2\pi )}$ を示す

$x = \dfrac{1}{2}$ を代入して定数を確定させる。

$$\begin{aligned} \zeta \left( s,\dfrac{1}{2} \right) &= \sum_{n=0}^{\infty} \left( n+\dfrac{1}{2} \right)^{-s}\\ &=2^s \sum_{n=0}^{\infty} (2n+1)^{-s}\\ &= 2^s \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} - \sum_{n=1}^{\infty} (2n)^{-s} \right\}\\ &= 2^s (1-2^{-s}) \zeta (s)\\ &= (2^s-1) \zeta (s) \end{aligned}$$ であるため， $$\begin{aligned} &\left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} \\ &= \left. \dfrac{\partial}{\partial s} (2^s-1) \zeta (s) \right|_{s=0} \\ &= \left. 2^s \log 2 \zeta (s) + (2^s-1) \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta (s) \right|_{s=0}\\ &= \log 2 \zeta (0)\\ &= -\frac{1}{2} \log 2 \end{aligned}$$ となる。

ここで $\zeta (0) = -\dfrac{1}{2}$ という式を用いた。

ガンマ関数については既に計算した通り，$\Gamma \left( \dfrac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}$である。

こうして， $$\begin{aligned} f \left( \dfrac{1}{2} \right) &= -\dfrac{1}{2} \log 2 -\dfrac{1}{2} \log \pi \\ &= -\dfrac{1}{2} \log (2\pi ) \end{aligned}$$ が成立し， $$\left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} - \log \Gamma (x) = -\frac{1}{2} \log ( 2\pi )$$ となる。

すなわち， $$\exp \left( \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} \right) =\frac{\Gamma (x)}{\sqrt{2\pi}}$$ が示された。

$$\dfrac{\partial}{\partial s} (x+n)^{-s} = -\dfrac{\log (x+n)}{(x+n)^{s}}$$ であるため $$\begin{aligned} &\exp \left( \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} \right) \\ &= \exp \left( - \sum_{n=1}^{\infty} \log (x+n) \right)\\ &= \prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{x+n} \end{aligned}$$ となる。

レルヒの公式に $x=1$ を代入して逆数を取ると $$1 \times 2 \times 3 \times \cdots = \sqrt{2\pi}$$ を得る。