ガンマ関数とゼータ関数の解析接続

ガンマ関数は，実部が正の複素数 $z$ に対して， $$\Gamma(z)= \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t}dt$$ と定義されます。この積分は実際に収束（特に絶対収束）し，$\Gamma (z)$ は正則関数となります。

→ コーシーの積分公式とその応用～グルサの定理・モレラの定理

ガンマ関数の性質

ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質 では実数上で定義されたガンマ関数の性質を紹介しました。

これらの性質は複素数値でも成立するのでしょうか。

答えはYesです。これは一致の定理の1番の「$D$」を「実部が正の複素平面」，「線分」を「実軸」に置き換えることで成立します。

ガンマ関数の拡張1

ガンマ関数の性質2 $$\Gamma (x+1) = x \Gamma (x)$$ を複素数に拡張したものを考えます。

$$\Gamma_{-1} (z) = \dfrac{\Gamma (z+1)}{z}$$ と定義すれば $\Gamma (z)$ を $\mathrm{Re} (z) > -1$ まで拡張することができます。

こうして正の整数 $m$ に対して $$\Gamma_{-m} (z) = \dfrac{\Gamma (z+m)}{z (z+1) \cdots (z+m-1)}$$ と定めることで，ガンマ関数を $\mathrm{Re} (z) > -m$ まで拡張することができるのです。

ガンマ関数の拡張2

ガンマ関数の性質4を複素数に拡張することで， $$\Gamma (z) = \lim_{n\to\infty} \dfrac{n^z n!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}$$ と複素数全体でガンマ関数を定義できます。

またガンマ関数は正でない整数で極をとる有理型関数に拡張されることがわかります。

ガンマ関数の極と留数

極

拡張2の形では計算が大変ですね。解析接続の理論を踏まえれば，拡張1の形で計算すればよいです。

拡張1から $\mathrm{Re} (z) > - m-1$ においてガンマ関数は $$\Gamma_{m-1} = \dfrac{\Gamma (z+m+1)}{z (z+1) \cdots (z+m)}$$ と拡張されるのでした。

この表示から位数は1位であることがわかります。

留数

留数は $$\begin{aligned} \mathrm{Res} \; (\Gamma(z) , -m) &= \mathrm{Res} \; (\Gamma_{-m-1} (z) , -m)\\ &= \lim_{z \to -m} \dfrac{\Gamma (z+m+1)}{z (z+1) \cdots (z+m-1)}\\ &= \dfrac{\Gamma (1)}{(-m)(-m+1) \cdots (-1)}\\ &= \dfrac{(-1)^m}{m!} \end{aligned}$$ と計算されます。

ゼータ関数は $$\zeta (z) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^z}$$ と定義されたのでした。右辺の級数は $\mathrm{Re} (z) > 1$ で収束し，ゼータ関数は正則関数となります。

→ コーシーの積分公式とその応用～グルサの定理・モレラの定理

ゼータ関数とガンマ関数の積

ゼータ関数の解析接続は，ガンマ関数の解析接続から計算されます。

ガンマ関数に $n^{-z}$ を掛けると $$\begin{aligned} n^{-z} \Gamma (z) &= \int_0^{\infty} e^{-s} n^{-z} s^{z-1} ds\\ &=\int_0^{\infty} e^{-nt} t^{z-1} dt &(s = nt) \end{aligned}$$ となります。これを $n = 1 , 2 , \cdots$ で和を取ると $$\zeta (z) \Gamma (z) = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-nt} t^{z-1} dt$$ この積分と無限和は交換することができます。（証明略）

結果， $$\begin{aligned} \zeta (z) \Gamma (z) &= \int_0^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nt} t^{z-1} dt\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{t^{z-1}}{e^t-1} dt \end{aligned}$$ を得ます。

正則関数「化」

関係式の右辺 $$\int_0^{\infty} \dfrac{t^{z-1}}{e^t-1} dt$$ は $z$ に関する複素関数と見なせます。

しかし，これは正則関数（有理関数）になっているのでしょうか。確認する必要があります。

証明は省きます。

こうして $$\zeta (z) = \dfrac{I(z)}{(e^{2\pi i z} - 1) \Gamma (z)}$$ と解析接続されます。

ゼータ関数の極と留数

極

$\mathrm{Re} \ (z) > 1$ においては $\zeta$ は正則です。そのため，$\mathrm{Re} \ (z) \leqq 1$ で留数を探せばよいです。

$I(z)$ は正則なので極に関係しません。

$e^{2\pi i z}-1$ は $z \in \mathbb{Z}$ で1位の零点を持ちます。一方 $\Gamma (z)$ は $z$ が非正整数で1位の極を持ちます。

よって，非正整数においては極と零点が打ち消し合い，$\zeta (z)$ は，非正整数で正則になります。

こうして $\zeta (z)$ は $z = 1$ で1位の極を持ちます。

留数

$$\begin{aligned} &\mathrm{Res} \ \left( \zeta , 1 \right)\\ &= \lim_{z \to 1} \dfrac{z-1}{e^{2\pi i z} - 1} \dfrac{I(z) }{\Gamma (z)}\\ &= \dfrac{1}{\Gamma (1)} \lim_{z \to 1} \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{z-1}{e^z-1} I(z)\\ &= \dfrac{1}{2\pi i} \lim_{z \to 1} I(z) \end{aligned}$$ となります。

$\displaystyle \lim_{z \to 1} I(z)$ を計算してみましょう。

$z=1$ で被積分関数は $\dfrac{1}{e^t-1}$ になります。このとき $C_1$ と $C_3$ での積分は打ち消し合います。よって $C_2$ でのみ考えればOKです。

$$\begin{aligned} \lim_{z \to 1} I(z) &= \oint_{C_2} \dfrac{dt}{e^t-1}\\ &= \mathrm{Res} \ \left( \dfrac{1}{e^t-1} , 0 \right)\\ &= 2\pi i \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{e^t - 1}\\ &= 2 \pi i \end{aligned}$$

よって $$\begin{aligned} \mathrm{Res} \ \left( \zeta , 1 \right) = 1 \end{aligned}$$ と計算されます。

ベルヌーイ数とゼータ関数 で登場した定理

を証明しましょう。