ピックの定理

正三角形の辺の長さを $a$ とすると，面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ である。→正三角形の面積，正四面体の体積を求める公式

もし，すべての頂点が格子点である正三角形が存在したとすると，三平方の定理より $a^2$ は整数である。これは $\sqrt{3}$ が無理数であることから1に矛盾。

以下の順番で示す。やや難しいのは1だけ。

1. 1辺 $X$ を共有する2つの図形 $A,B$ でピックの定理が成立するなら，$A$ と $B$ をくっつけた図形 $C$ でもピックの定理が成立する。

2. 逆に，$C$ を $A$ と $B$ に分割し，$C$ と $A$ でピックの定理が成立するなら $B$ でもピックの定理が成立する（1を逆向きに見るとわかる）。

3. 長方形についてピックの定理が成立する（簡単に確認できる）。

4. 2本の座標軸と平行な辺を持つ直角三角形についてピックの定理が成立する（簡単に確認できる）。

5. 任意の格子三角形についてピックの定理が成立する（大きい長方形から直角三角形を除くと，2と3と4からわかる）。

6. 任意の格子多角形についてピックの定理が成立する（三角形分割すると1と5からわかる）。