ラマヌジャンのタクシー数

$1729$ は，2つの立方数の和として2通りで表せます： $$1729=12^3+1^3=10^3+9^3$$ この等式に関連した入試問題を紹介します。

不定方程式の整数解【例題4問と解き方6パターン】で紹介した「因数分解」で解きます。

$n$ 番目のタクシー数 $T_n$ とは，立方数 $2$ 個の和として $n$ 通りに表される最小の自然数のことです。

• $T_2 = 1729$ です。
• $T_3$ は $15170835645$ です： $$\begin{aligned} 15170835645 &= 517^3 + 2468^3\\ &= 709^3 + 2456^3\\ &= 1733^3 + 2152^3 \end{aligned}$$ （電卓で確認してみてください）
• すべての $n(\geqq 1)$ に対して $T_n$ が存在することが示されています。しかし，実際に $T_n$ が分かっているのは $n$ が非常に小さいケースだけです。

タクシー数は，立方数として正の整数の3乗のみを考えました。

負の整数の3乗および $0$ も認めたバージョンをキャブタクシー数といいます。

例えば，2番目のキャブタクシー数は $91$ です： $$\begin{aligned} 91 &= 3^3 + 4^3\\ &= 6^3 - 5^3 \end{aligned}$$

20世紀前半にインドにラマヌジャンという天才数学者がいました。

彼は独学で数学を学び，円周率の近似公式や分割数の公式など，驚くべき公式を次々と発見しました。彼はその成果をイギリスの数学者ハーディに送り，晴れてイギリスの大学に招待されることになりました。

しかし，イギリスの風土が合わずラマヌジャンは入院してしまいます。

ハーディがラマヌジャンのお見舞いに行く時，乗ったタクシーのナンバーが $1729$ でした。

ハーディが「タクシーの番号が1729という面白味のない数だったよ」と話すと，ラマヌジャンは「いいえ，それは大変面白い数です。2つの立方数の和として2通りに表される最小の数ですよ」と返事をしたそうです。

こうしたエピソードから，1729はラマヌジャンのタクシー数と呼ばれます。