正七角形の対角線の性質

まずはトレミーの定理を用いる方法を紹介します。

下図のように対角線を引きます。

トレミーの定理より $$\mathrm{AB} \times \mathrm{CE} + \mathrm{BC} \times \mathrm{AE} = \mathrm{AC} \times \mathrm{BE}$$ が成立します。

$a = \mathrm{AB} = \mathrm{BC}$，$b = \mathrm{AC} = \mathrm{CE}$，$c = \mathrm{AE} = \mathrm{BE}$ を代入すると $$ab+ac = bc$$ となります。両辺を $abc$ で割ると $$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$$ が得られます。

下図の正七角形 $\mathrm{ABCDEFG}$ を考えましょう。

2つのステップに分けて計算をしていきます。

相似な二等辺三角形を作る

直線 $\mathrm{BC}$ と直線 $\mathrm{DE}$ の交点を $\mathrm{H}$ とおきます。

下図の青い三角形と赤い三角形は相似になります。

相似比から計算する

相似比を見ると $$\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AE}} = \dfrac{\mathrm{HD}}{\mathrm{BD}} \quad \cdots (\ast)$$ となります。

それぞれの辺の長さは，$\mathrm{DE} = a$，$\mathrm{AE} = c$，$\mathrm{BD} = b$ となります。

また， $$\begin{aligned} &\mathrm{DH}\\ &= \mathrm{CH} &(\triangle \mathrm{HCD} \ \text{は二等辺三角形})\\ &= \mathrm{BH} - \mathrm{BC}\\ &= \mathrm{BD} - \mathrm{BC} \ \ &(\triangle \mathrm{BDH} \ \text{は二等辺三角形})\\ &= b-a \end{aligned}$$ と計算されます。

$(\ast)$ に代入して $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b-a}{b}$，つまり $\dfrac{a}{c} = 1 - \dfrac{a}{b}$ を得ます。

両辺を $a$ で割って $$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$$ が得られました。