入試数学コンテスト第7回第3問解答解説

2回の移動で座標が $(1,0),(1,1),(1,2)$ になる移動がどの種類の移動を組み合わせたものか考える。

$x$ 軸方向に1動く移動を $A$,$y$ 軸方向に1動く移動を $B$,$x$ 軸方向と $y$ 軸方向それぞれに1動く移動を $C$ と置く。1回目の移動が $A$,2回目の移動が $B$ であるときこれを $AB$ と書くことにすると2回の移動は $AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC$ の9種類である。

このうち2回目の移動後の座標が $(1,0)$ になるものは存在しない。2回目の移動後の座標が $(1,1)$ になるものは $AB,BA$,2回目の移動後の座標が $(1,2)$ になるものは $BC,CB$ である。それぞれの確率を求めて足したものが求めるものとなる。 $AB(BA)$ になる確率は $p(1-p-q)$,$BC(CB)$ になる確率は $q(1-p-q)$ であるから

$P_2(1,0)=0，$

$P_2(1,1)=2p(1-p-q)，$

$P_2(1,2)=2q(1-p-q)$

となる。

(1)の解答中に定義した $A,B,C$ の呼称を引き続き用いる。

$x$ 座標が $1$ 増える移動は $A,C$,$x$ 座標が増えない移動は $B$ でそれぞれ確率は $p+q,1-p-q$ である。

$n$ 回の移動で $i$ 回は $A,C$ のいずれか，$n-i$ 回は $B$ であることが $n$ 回の移動後の $x$ 座標が $i$ であることの必要十分条件である。したがって求める確率は $n$ 回の移動で $i$ 回は $A,C$ のいずれか，$n-i$ 回は $B$ である確率である。

これは $(1-p-q)^{n-i} (p+q)^{i} {}_n \mathrm{C}_i$ である。

任意の実数 $x,y$ に対して $(x+y)^n=\sum_{i=0}^n {}_n \mathrm{C}_i x^i y^{n-i}$ である。この式を $x$ で微分すると，左辺は $$n(x+y)^{n-1}$$ となり，右辺は $$\sum_{i=1}^n {}_n i\mathrm{C}_i x^{i-1} y^{n-i}$$ となる。この式に $x$ を掛けると $$\sum_{i=1}^{n} i{}_n \mathrm{C}_i x^{i} y^{n-i}=x(x+y)^n$$ を得る。$i=0$ の項は $0$ であるから $$\sum_{i=1}^{n} i{}_n \mathrm{C}_i x^{i}y^{n-i}=\sum_{i=0}^{n} i{}_n \mathrm{C}_i x^{i}y^{n-i}$$となる。以上の計算から $$\sum_{i=0}^{n} i{}_n \mathrm{C}_i x^{i}y^{n-i}=nx(x+y)^{n-1}$$ となる。

$a_n$ について計算を行う。

$$\begin{aligned} a_n &= \sum_{k = 0}^{n}\sum_{l=0}^{n} \left(k \times P_n (k,l)\right)\\ &= \sum_{k = 0}^{n} k\times \left (\sum_{l=0}^{n} P_n (k,l)\right) \end{aligned}$$

であり，(2)の結果から

$$a_n=\sum_{k = 0}^{n} k\times (1-p-q)^{n-k} (p+q)^{k} {}_n \mathrm{C}_k$$ である。これを計算すればよいが，これは(3)で導出した式 $$\sum_{i=0}^{n} i{}_n \mathrm{C}_i x^{i}y^{n-i}=x(x+y)^n$$ に $x=p+q,y=1-p-q$ を代入した形である。したがって， $$a_n=n(p+q)$$ である。

$b_n$ については同様の計算を $p$ を $1-p-q$ に，$1-p-q$ を $p$ に置き換えたものに対して行えばよい。したがって $$b_n=n(1-p)$$ である。

移動 $1$ 回の座標の変化の期待値を求める。

確率 $p$ で $x$ 座標が $+1$,確率 $1-p-q$ で $y$ 座標が $+1$,確率 $q$ で $x$ 座標,$y$ 座標が $+1$ するため座標の変化の期待値は

$(p,0)+(0,1-p-q)+(q,q)=(p+q,1-p)$ である。したがって求める期待値は $n\times (p+q,1-p)$ である。