入試数学コンテスト第1回第3問解答解説

$k^2 \leqq x < (k+1)^2$ を満たす整数 $x$ について

$$\sum_{x = k^2}^{(k+1)^2-1} \dfrac{1}{\left[\sqrt{x}\right]} = \dfrac{(k+1)^2-k^{2}}{k}$$

であるので，

$$\sum_{n = 1}^{49} \dfrac{1}{\left[\sqrt{n}\right]} = \sum_{k = 1}^{6} \dfrac{(k+1)^2-k^{2}}{k} + \dfrac{1}{7}$$

と読み替えることができ，これを計算すると

$$\dfrac{2043}{140}$$

であるとわかる。

$$a_n = \left[\dfrac{n}{\left[\sqrt{n}\right]}\right]$$ とおき，初項が$a_{l^2}$，末項が$a_{(l+1)^2-1}$のものを第 $l$ 群としてそれぞれの群に分割する。 $a_{l^2} = l$ であるので，第 $l$ 群の中身は $$\left[\dfrac{l^2}{l}\right],\left[\dfrac{l^2+1}{l}\right],\cdots \left[\dfrac{l^2+2l}{l}\right]$$ である。 分子を $k$ と置いた時， $l^2 \leqq k \lt l^2+l$の時， $$\left[\dfrac{k}{l}\right] = l$$ $l^2 + l \leqq k \lt l^2+2l$の時， $$\left[\dfrac{k}{l}\right] = l + 1$$ $k = l^2+2l$の時， $$\left[\dfrac{k}{l}\right] = l + 2$$ であるから，第 $l$ 群の総和は $$l \times l + l \times (l+1) + l+2 = 2l^2 + 2l + 2$$ と考えることができるので， $$\sum_{n = 1}^{1000000} \left[\dfrac{n}{\left[\sqrt{n}\right]}\right]　 = \sum_{n = 1}^{999} \left(2l^2 + 2l + 2 \right) + 1000$$ と変形することができる。 これを計算すると， $$666668998$$ であるとわかる。