入試数学コンテスト第7回第1問解答解説

解と係数の関係より，$\alpha+\beta=1$ となる。

$\alpha, \beta$ は $x^2-x-1=0$ の解であるため，それぞれ $\alpha^2=\alpha+1, \beta^2=\beta+1$ を満たすので， $$\alpha^{n+2}=\alpha^{n+1}+\alpha^{n}, \beta^{n+2}=\beta^{n+1}+\beta^{n}$$ となる。よって $$(\alpha^{n+2}+\beta^{n+2})=(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})+(\alpha^{n}+\beta^{n})$$ である。すなわち $c_n = \alpha^n + \beta^n$ とおくと数列 $\{ c_n \}$ は $$c_{n+2} = c_{n+1} + c_n$$ を満たす。

(1) より $c_1 = \alpha + \beta =1$ である。また $c_2 = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3$ である。こうして帰納的に $$c_3 = c_2+c_1 = 3+1=4\\ c_4 = c_3+c_2 = 4+3 = 7\\ c_5 = c_4 + c_3 = 7+4 = 11\\ c_6 = c_5 + c_4 = 11+7 = 18\\ c_7 = c_6 + c_5 = 18+11 = 29\\ c_8 = c_7 + c_6 = 29+18 = 47\\ c_9 = c_8 + c_7 = 47+29 = 76\\ c_{10} = c_9 + c_8 = 76+47 = 123\\$$ と計算され，求める値は $c_{10} = 123$ である。

$c_{n+2}$ を3で割った余りは，$c_{n+1}$ を3で割った余りと $c_n$ を3で割った余りを足したもの(を3で割った余り)である。よって漸化式から，数列 $\{ c_n \}$ を $3$ で割った余りを計算すると $$1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, \cdots$$ のように $1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2$ を周期とするがわかる。この $0$ の項が3の倍数の項である。

$2022=8\times252+6$ であるから, 数列 $\{ c_n \}$ の1項目から2022項目の中に252回上記の周期が含まれることになる。こうして2016項目までに $252 \times 2 = 504$ 個の3の倍数が現れる。

ちょうど $2\times252+2=506$ 個の $3$ の倍数が存在することがわかる。周期の2番目，6番目に3の倍数が現れるため，2017項目から2022項目までの間に2こ3の倍数が現れる。

こうして求めるものは $506$ とわかる。