京大文系数学2021入試過去問解答解説

$$\begin{aligned} 6.75 &= 2^2 + 2^1 + 2^{-1} + 2^{-2}\\ &= 110.11_{(2)} \end{aligned}$$ とかける。また， $$101.0101 = 2^2 + 2^0 + 2^{-2} + 2^{-4}$$ により，積は， $$\begin{aligned} &(2^2 + 2^1 + 2^{-1} + 2^{-2})(2^2 + 2^0 + 2^{-2} + 2^{-4})\\ &=2^5 + 2^1 + 2^0 + 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-4} + 2^{-5} + 2^{-6}\\ &= 100011.110111_{(2)}\\ &= 2\cdot 4^2 + 3 \cdot 4^0 + 3 \cdot 4^{-1} + 4^{-2} + 3\cdot 4^{-3}\\ &= 203.313_{(4)} \end{aligned}$$ と表せる。

$\overrightarrow{OH} = p \overrightarrow{OA} + q\overrightarrow{OB}$ とおく。題意より $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{OB} = 0$ であるから， $$\begin{aligned} \left((p-1) \overrightarrow{OA} + q\overrightarrow{OB} \right) \cdot \overrightarrow{OB} &= (p-1) \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} + q \left\|\overrightarrow{OB}\right\|^2\\ &= 0 \end{aligned}$$ ここで， $$\begin{cases} \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = 3\cdot 2 \cdot \cos 60^{\circ} = 3\\ \left\|\overrightarrow{OB}\right\|^2 = 4 \end{cases}$$ より， $$3p + 4q = 3 \tag{1}$$ を得る。 これと同様にすれば，$\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{OA} = 0$ から， $$3p + q = 1 \tag{2}$$ を得る。$(1),(2)$ から $p = \dfrac{1}{9}, ~ q = \dfrac{2}{3}$ を得るので， $$\overrightarrow{OH} = \dfrac{1}{9} \overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}$$

$$\begin{aligned} x^2 -\dfrac{1}{2}x -\dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{2}(2x^2 -x -1)\\ &= \dfrac{1}{2}(x-1)(2x+1) \end{aligned}$$ より，$-1 \leq x \leq -\dfrac{1}{2}$ で $$x^2 -\dfrac{1}{2}x -\dfrac{1}{2} \geq 0$$ $-\dfrac{1}{2} \leq x \leq 1$ で $$x^2 -\dfrac{1}{2}x -\dfrac{1}{2} \leq 0$$ よって， $$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 \left|x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\right|dx\\ &= \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \left(x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\right)dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{1} \left(-x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\right)dx\\ &= \left[\dfrac{1}{3}x^3 -\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}} + \left[-\dfrac{1}{3}x^3 +\dfrac{1}{4}x^2 +\dfrac{1}{2}x\right]_{-\frac{1}{2}}^{1}\\ &= \left(\dfrac{7}{48} - \left(-\dfrac{1}{12}\right)\right) + \left(\dfrac{5}{12} - \left(-\dfrac{7}{48}\right)\right)\\ &= \dfrac{19}{24} \end{aligned}$$

簡単のため，紛れがなければ，番号 $N$ の箱のことを単に「箱 $N$」と呼ぶことにする。

箱 $k$ から赤玉が取り出される確率を $p_k$ で表すことにする。このとき白玉が取り出される確率は $1-p_k$ である。

箱 $k+1 ~~(1 \leq k \leq n-1)$ から，玉の取り出しをすることを考える。

箱 $k$ から赤玉が取られ，箱 $k+1$ に入れられる確率は $p_k$ である。このとき，箱 $k+1$ の中には，赤玉が $2$ 個，白玉が $1$ 個ある。

箱 $k$ から白玉が取られ，箱 $k+1$ に入れられる確率は $1-p_k$ である。このとき，箱 $k+1$ の中には，赤玉が $1$ 個，白玉が $2$ 個ある。

よって，これらにより， $$p_{k+1} = p_k \times \dfrac{2}{3} + (1-p_k) \times \dfrac{1}{3}\\ p_{k+1} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\left(p_k - \dfrac{1}{2}\right)\\ \therefore p_k - \dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}\left(p_1 - \dfrac{1}{2}\right)$$

(i) 箱 $1$ から赤が取り出されたときを考える。つまり， $$p_1 = 1$$ の時である。このとき， $$p_k = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1} + \dfrac{1}{2}$$ これより， $$p_n = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} + \dfrac{1}{2}$$ 箱 $1$ に赤，白が $1$ 個ずつ入っているためには，箱 $n$ から赤が取り出されればよい。その確率は $$p_n = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} + \dfrac{1}{2}$$

(ii) 箱 $1$ から白が取り出された時を考える。つまり， $$p_1 = 0$$ の時である。このとき， $$p_k = \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$$ これより， $$p_n = \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$$ 箱 $1$ に赤，白が $1$ 個ずつ入っているためには，箱 $n$ から白が取り出されればよい。その確率は $$1 - p_n = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} + \dfrac{1}{2}$$

(i), (ii) により，箱 $1$ に赤玉と白玉が $1$ 個ずつ入っている確率は， $$\begin{aligned} &\dfrac{1}{2} \times \left( \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} + \dfrac{1}{2}\right) + \dfrac{1}{2} \times \left( \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} + \dfrac{1}{2}\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} + \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

$P(1,0,p), Q(0,2,q)$ とおく。ここで， $$0 \leq p \leq 3, ~~ 0 \leq q \leq 3$$ を満たす。このとき，$F$ は面 $OAQ$ 上にあることから，実数 $a,b$ を用いて $$\overrightarrow{OF} = a\overrightarrow{OP} + b\overrightarrow{OQ}$$ とかける。 $$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3 \end{array} \right) &=a\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ p \end{array} \right) +b\left( \begin{array}{c} 0\\ 2\\ q \end{array} \right)\\ \end{aligned}$$ $$\therefore \begin{cases} a = 1\\ b = 1\\ p + q = 3 \end{cases}$$

これより， $$\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}$$ であるから，四角形 $OPFQ$ は平行四辺形である。よって， $$\begin{aligned} S &= \sqrt{\|\overrightarrow{OP}\|^2 \|\overrightarrow{OQ}\|^2 - \left(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}\right)^2}\\ &= \sqrt{(1+p^2)(4+q^2) - (pq)^2}\\ &= \sqrt{4p^2 + q^2 + 4} \end{aligned}$$ $q = 3-p$ を代入して， $$\begin{aligned} S &= \sqrt{4p^2 + p^2 -6p + 9 + 4}\\ &= \sqrt{5p^2 -6p + 13}\\ &= \sqrt{5\left(p-\dfrac{3}{5}\right)^2 + \dfrac{56}{5}} \end{aligned}$$ $0 \leq p \leq 3$ より，$p = \dfrac{3}{5}, ~q = \dfrac{12}{5}$ のとき，$S$ は最小値をとる。よって， $$P\left(1,0,\dfrac{3}{5}\right), ~~ Q\left(0,2,\dfrac{12}{5}\right)$$ のとき，$S$ は最小値 $$S = \sqrt{\dfrac{56}{5}} = \dfrac{2\sqrt{70}}{5}$$ をとる。

以下合同式において $3$ を法として考える。

(i) $p = 3$ のとき $$p^4 + 14 = 95 = 19 \cdot 5$$ より，$p^4 + 14$ は素数ではない。

(ii) $p \neq 3$ のとき

$p$ は素数なので，$3$ の倍数ではない。つまり， $$p \equiv 1 ~~~\text{または} ~~~ p \equiv 2$$ である。

$p \equiv 1$ のとき， $$\begin{aligned} p^4 + 14 &\equiv 1 + 14\\ &\equiv 0 \end{aligned}$$ より，$p^4 + 14$ は $3$ の倍数であって，もちろん $p^4 + 14 > 3$ であるから，これは素数ではない。

$p \equiv 2$ のとき， $$\begin{aligned} p^4 + 14 &\equiv 16 + 14\\ &\equiv 0 \end{aligned}$$ より，$p^4 + 14$ は $3$ の倍数であって，もちろん $p^4 + 14 > 3$ であるから，これは素数ではない。

(i),(ii)より，題意は示された。