式の計算・二次関数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

$a,b$ は実数とする。 $\theta$ の方程式 $\cos^2 \theta + a \sin \theta + b - 1 = 0$ に関して,

(1) $a=1$ のとき, $0 \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲に相異なる4つの解を持つような $b$ の値の範囲を求めよ。

(2) $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{3}{2}\pi$ の範囲に相異なる解を少なくとも2つ持つような $a,b$ に対し, $ab$ の取りうる値の範囲を求めよ。

$p$ を素数とする。$x$ の整数係数多項式 $$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$$ について，全ての係数 $a_i$ が $p$ の倍数のとき，「$f(x)$ は $p$ で割り切れる」ということにする。 これにより，整数係数多項式 $f(x),g(x)$ について，$f(x) - g(x)$ が $p$ で割り切れるとき，「$f(x)$ と $g(x)$ は $p$ を法として合同である」と定義する。 問題のなかで，$f(x), g(x)$ が整数係数多項式のとき， $$\left(f(x) + g(x)\right)^p$$ と $$\left\{f(x)\right\}^p + \left\{g(x)\right\}^p$$ は $p$ を法として合同な多項式であることを用いてもよい。

(1) $0$ 以上の整数 $m,l$ に対し， $$(x+1)^{mp^l} = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{mp^l} x^{mp^l}$$ となるような係数 $a_i$ をとる。このとき，$a_{p^l}$ と $p$ を法として合同であるような数を $m$ のみを用いて表せ。

(2) 一般に，有限集合 $A$ に対し，$\sharp A$ は集合の元の個数を表すとする。有限集合 $G$ に対し，ある $0$ 以上の整数 $m,l$ が存在して， $\sharp G = mp^l$ を満たすとする。これを用いて $$X = \left\{Y \mid Y \subset G, \sharp Y = p^l\right\}$$ とおく。$\sharp X$ と $p$ を法として合同であるような数を $m$ のみを用いて表せ。

整式 $P(x)$ は $(x-1)^2$ で割った余りが $2x+5$ であり, $x+1$ で割った余りが $-5$　である。

(1) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) $P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りを求めよ。

(3) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+1)$ で割ったときの余りを求めよ。

次のような関数 $f(\theta)$ を考える。

$$f(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta +\sqrt{2} \sin \theta +\sqrt{2} \cos \theta -1 \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi)$$

以下の問いに答えよ。

(1) $\sin \theta + \cos \theta = t$ とおくとき，$f(\theta)$ を $t$ の式で表せ。また $t$ の取りうる範囲を求めよ。

(2) $f(\theta)$ の最大値および最小値を求めよ。

(3) $\theta$ についての方程式 $f(\theta) = b$ の解がちょうど2つとなるような $b$ の範囲を求めよ。

二次方程式 $x^2-x-1=0$ の異なる2つの実数解をそれぞれ $\alpha, \beta$ とする。

(1) $\alpha+\beta$ の値を求めよ。

(2) $\alpha^{10}+\beta^{10}$ の値を求めよ。

(3) $\alpha+\beta, \alpha^2+\beta^2, \alpha^3+\beta^3, \cdots , \alpha^{2022}+\beta^{2022}$ の2022個の実数のうち，整数であって3の倍数であるもの個数を求めよ。