入試数学コンテスト第2回第2問解答解説

更新日時 2021/10/30
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  • 第2問 [整式]

第2問 [整式]

第2問

整式 P(x)P(x)(x1)2(x-1)^2 で割った余りが 2x+52x+5 であり, x+1x+1 で割った余りが 5-5 である。

(1) P(x)P(x)x1x-1 で割ったときの余りを求めよ。

(2) P(x)P(x)x21x^2-1 で割ったときの余りを求めよ。

(3) P(x)P(x)(x1)2(x+1)(x-1)^2(x+1) で割ったときの余りを求めよ。

第2問は数2から整式に関する出題です。

基本問題であり、6問セットの中で最も落としてはいけない一題です。

第2問(1)

問題文の条件から P(x)=(x1)2A(x)+2x+5(1) P(x) = (x-1)^2A(x)+2x+5 \tag{1} P(x)=(x+1)B(x)5(2) P(x) = (x+1)B(x)-5 \tag{2} を満たす整式 A(x),B(x)A(x), B(x) が存在する。

式(1)より

P(x)=(x1)2A(x)+2(x1)+7 P(x) = (x-1)^2A(x)+2(x-1)+7

よって余りは7

式(1)(2)を立てることがこの大問のスタート地点です。

整式 P(x)P(x) を一次式(x1x-1)で割るとき, その余りは「一次未満(=定数)」になることも合わせて確認しておきましょう。

第2問(2)

整式 P(x)P(x)x21x^2-1 で割ったときの余りを px+qpx+qp,qp,q:定数)とするとき

P(x)=(x21)C(x)+px+q=(x1)(x+1)C(x)+px+q(3) \begin{aligned} P(x) &= (x^2-1)C(x)+px+q \\ &= (x-1)(x+1)C(x)+px+q \tag{3} \end{aligned}

を満たす整式 C(x)C(x) が存在する。

式(1)および式(3)において x=1x=1 とすると

P(1)=7=p+q(4) P(1) = 7 = p+q \tag{4}

式(2)および式(3)において x=1x=-1 とすると

P(1)=5=p+q(5) P(-1) = -5 = -p+q \tag{5}

式(4),(5)を解いて

p=6,q=1 p = 6, q = 1

よって余りは 6x+16x+1

第2問でも式(3)を立てることがスタート地点です。 x21=(x1)(x+1) x^2-1 = (x-1)(x+1) の形に注目して式(1)(2)を活かすことができれば正答できます。

問題文で与えられた情報はそう多くないわけですから, 式(3)を立てた後に式(1)(2)に戻って式を見比べるのは必然的に必要な作業です。

最後に(3)です。

整式 P(x)P(x) を三次式 (x1)2(x+1)(x-1)^2(x+1) で割るとき, その余りの次数は「三次未満」になることも合わせて確認しておきましょう。

すなわち, 高々二次式の整式 R(x)R(x) (余り)を用いて,

P(x)=(x1)2(x+1)D(x)+R(x) P(x) = (x-1)^2(x+1)D(x) + R(x)

と表すことができます。

さらに, 問題文から整式 P(x)P(x) は二次式 (x1)2(x-1)^2 で割ったとき, 余りが 2x+52x+5 であることがわかっています。

第一項 (x1)2(x+1)D(x)(x-1)^2(x+1)D(x)(x1)2(x-1)^2 で割り切れるので, R(x)R(x)(x1)2(x-1)^2 で割ったときの余りが 2x+52x+5 であることまでわかります。

第2問(3)

問題文から, P(x)P(x) は整式 D(x)D(x) と定数 aa を用いて

P(x)=(x1)2(x+1)D(x)+a(x1)2+2x+5(6) P(x) = (x-1)^2(x+1)D(x) + a(x-1)^2 + 2x + 5 \tag{6}

と表すことができる。

式(2)および式(6)において x=1x=-1 とすると

P(1)=5=4a+3a=2 P(-1) = -5 = 4a+3 \\ \therefore a = -2

よって余りは

2(x1)2+2x+5=2x2+6x+3 -2(x-1)^2 + 2x + 5 = -2x^2 +6x + 3

この問題の基本テーマは剰余の定理です。

次の記事を読んで勉強しておきましょう。→剰余の定理