京大理系数学2020入試過去問解答解説

$(*)$ は実数係数の方程式なので，解を $\alpha, \overline{\alpha}, \beta$ とおける。$\alpha$ の虚部は正であるとする。このとき，$\alpha, \overline{\alpha}$ は実軸に対して対称であるから，$\alpha, \overline{\alpha}, \beta$ が正三角形をなすには $\beta$ が実数であることが必要である。

$\beta$ については以下の図の (i),(ii) のような位置にあることが考えられる。

また，解と係数の関係より， が成立する。

(i) 図より， $$\begin{cases} \alpha = \beta + \dfrac{3}{2}a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}ai\\ \overline{\alpha} = \beta + \dfrac{3}{2}a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}ai \end{cases}$$ $(1)$ にこれを代入して整理すると， $$\beta = -2a$$ これより， $$\begin{aligned} \alpha &= -2a + \dfrac{3}{2}a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}ai\\ &= a\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) \end{aligned}$$ これらを $(3)$ に代入して整理すると， $$\begin{aligned} -2a^3 &= -1\\ a^3 &= \dfrac{1}{2}\\ \therefore a &= \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{aligned}$$ さらに，$(2)$ より， $$\begin{aligned} a^2 + \beta \left(\alpha + \overline{\alpha}\right) &= b\\ a^2 + 2a^2 &= b\\ \therefore b &= \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}} \end{aligned}$$

(ii) 図より， $$\begin{cases} \alpha = \beta - \dfrac{3}{2}a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}ai\\ \overline{\alpha} = \beta - \dfrac{3}{2}a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}ai \end{cases}$$ $(1)$ にこれを代入して整理すると， $$\beta = 0$$ これは明らかに $(*)$ の解にはならないので不適。

(i),(ii)より， $$a = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}, ~~ b = \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$$ また，$3$ つの解は $$\alpha, \overline{\alpha}, \beta$$ すなわち $$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(-\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right), ~~ -\dfrac{2}{\sqrt[3]{2}} = -\sqrt[3]{4}$$

数学的帰納法により示す。与えられた方程式において解と係数の関係を使えば， $$\alpha + \beta = 2p \tag{1}$$ $$\alpha \beta = -1 \tag{2}$$

(i) $n = 1$ のとき $$\alpha + \beta = 2p$$ より，これは偶数である。

(ii) $n = 2$ のとき $$\begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 &= (\alpha + \beta)^2 -2\alpha\beta\\ &= 4p^2 + 2\\ &= 2(2p^2 + 1) \end{aligned}$$ より，これは偶数である。

(iii) $n = k, k + 1 ~~ (k \geq 1)$ のとき $\alpha^n + \beta^n$ は偶数であると仮定する。このとき， $$\begin{aligned} \alpha^{k+2} + \beta^{k+2} &= (\alpha + \beta)\left(\alpha^{k+1}+ \beta^{k+1}\right) -\alpha\beta^{k+1} - \beta\alpha^{k+1}\\ &= (\alpha + \beta)\left(\alpha^{k+1}+ \beta^{k+1}\right) -\alpha\beta \left(\alpha^k + \beta^k\right) \end{aligned}$$ $\alpha + \beta,\alpha^{k+1}+ \beta^{k+1},\alpha^k + \beta^k$ は全て偶数であるから，$\alpha^{k+2} + \beta^{k+2}$ も偶数である。

(i),(ii),(iii)より，数学的帰納法から題意は示された。

$x^2 -2px -1 = 0$ の判別式を $D$ とすると， $$\dfrac{D}{4} = p^2 + 1 > 0$$ であるから，$\alpha,\beta$ は実数である。ここで $(2)$ より， $$\alpha \beta = -1$$ であり， $$|\alpha\beta| = |\alpha||\beta| = |-1| = 1$$ であるから， $$|\beta| = \dfrac{1}{|\alpha|} < 1 \tag{3}$$

ここで，$\alpha^n + \beta^n$ は偶数より， $$\begin{aligned} &(-\alpha)^n \sin (\alpha^n \pi)\\ &= (-\alpha)^n \sin ((\alpha^n + \beta^n) \pi - \beta^n \pi)\\ &= (-\alpha)^n \sin (- \beta^n \pi)\\ &= -\left(\dfrac{1}{\beta}\right)^n \sin (\beta^n \pi)\\ &= -\pi \cdot \dfrac{\sin (\beta^n \pi)}{\beta^n \pi} \end{aligned}$$ $(3)$ より， $$\beta^n \xrightarrow{n \to 0} 0$$ であるから， $$(-\alpha)^n \sin (\alpha^n \pi) \xrightarrow{n \to 0} -\pi \cdot 1 = -\pi$$

以下合同式において $3$ を法とする。

(i) $n \equiv 1$ のとき

$$\begin{aligned} f(m,n) &\equiv m^3 + 1^2 + 1 + 3\\ &\equiv m^3 + 2 \end{aligned}$$

(i-i) $m \equiv 0$ のとき $f(m,n) \equiv 2$ より，$f(m,n)$ は $3$ で割り切れないので， $$A(m,n) = 0$$

(i-ii) $m \equiv 1$ のとき $f(m,n) \equiv 0$ より， $$A(m,n) \geq 1$$

(i-iii) $m \equiv 2$ のとき $f(m,n) \equiv 2$ より，$f(m,n)$ は $3$ で割り切れないので， $$A(m,n) = 0$$

(ii) $n \equiv 2$ のとき $$\begin{aligned} f(m,n) &\equiv m^3 + 2^2 + 2 + 3\\ &\equiv m^3 \end{aligned}$$ (i-i),(i-ii),(i-iii)と同様に考えれば，

(ii-i) $m \equiv 0$ のとき $A(m,n) \geq 1$

(ii-ii) $m \equiv 1$ のとき $A(m,n) = 0$

(ii-iii) $m \equiv 2$ のとき $A(m,n) = 0$

(i),(ii)より，$(m,n) \equiv (1,1),(2,0)$ のとき $A(m,n)$ は最大値を取りうる。 $$(\text{あ}) \quad (m,n) \equiv (1,1)\\ (\text{い}) \quad (m,n) \equiv (0,2)$$ として，場合わけして考える。

以下の合同式では $9$ を法とする。

$(\text{あ})$ $f(m,n)$ を $9$ で割ったあまりについて表をつくると以下のようになる。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n \equiv 1 & n \equiv 4 & n \equiv 7\\ \hline m \equiv 1 & 6 & 6 & 6\\ \hline m \equiv 4 & 6 & 6 & 6\\ \hline m \equiv 7 & 6 & 6 & 6\\ \hline \end{array}$$

よって $f(m,n)$ は $9 = 3^2$ では割り切れないので， $$A(m,n) = 1$$

$(\text{い})$ $f(m,n)$ を $9$ で割ったあまりについて表をつくると以下のようになる。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n \equiv 2 & n \equiv 5 & n \equiv 8\\ \hline m \equiv 0 & 0 & 6 & 3\\ \hline m \equiv 3 & 0 & 6 & 3\\ \hline m \equiv 6 & 0 & 6 & 3\\ \hline \end{array}$$

これより，$m = 3k ~~ (1 \leq k \leq 10), ~~ n = 2,11,20,29$ のとき $A(m,n)$ は最大値を取りうる。$n$ の値について場合わけして考える。

$(\alpha)$ $n = 2$ のとき

$$\begin{aligned} f(m,n) &= 27k^3 + 9\\ &= 9(3k^3 + 1) \end{aligned}$$ $3k^3 + 1$ は $3$ の倍数ではないので $A(m,n) = 2$

$(\beta)$ $n = 11$ のとき

$$\begin{aligned} f(m,n) &= 27k^3 + 135\\ &= 27(k^3 + 5) \end{aligned}$$ よって $A(m,n) \geq 3$

$(\gamma)$ $n = 20$ のとき

$$\begin{aligned} f(m,n) &= 27k^3 + 423\\ &= 9(3(k^3 + 15) + 2) \end{aligned}$$ $3(k^3 + 15) + 2$ は $3$ の倍数ではないので $A(m,n) = 2$

$(\delta)$ $n = 29$ のとき

$$\begin{aligned} f(m,n) &= 27k^3 + 873\\ &= 9(3(k^3 + 32) + 1) \end{aligned}$$ $3(k^3 + 32) + 1$ は $3$ の倍数ではないので $A(m,n) = 2$

これより，$m = 3k ~~ (1 \leq k \leq 10), ~~ n = 11$ のとき $A(m,n)$ は最大値を取りうる。

合同式において，以下再び $3$ を法とすれば， $$k^3 + 5 \equiv \begin{cases} 0 & (k = 1,4,7,10)\\ 1 & (k = 2,5,8)\\ 2 & (k = 3,6,9) \end{cases}$$ $k = 1,4,7,10$ のとき，合同式において再び $9$ を法として $$k^3 + 5 \equiv 6$$ よって， $$(m,n) = (3,11),(12,11),(21,11),(30,11)$$ のとき $A(m,n)$ は最大値 $4$ をとる。

$0 < x < 1$ のとき $$z = \sqrt{\log (1+x)}$$ は単調増加する関数であり，$z \mid_{x = 0} = 0,~~ z \mid_{x = 1} = \sqrt{\log 2}$ より，与えられた曲線の概形を $xz$ 平面に図示すると以下の通り。

$0 \leq t \leq \sqrt{\log 2}$ なる実数 $t$ を用いて，$z = t$ における $S$ の断面を考える。 $$\begin{aligned} t &= \sqrt{\log (1+x)}\\ t^2 &= \log (1+x)\\ \therefore x &= e^{t^2} - 1 \end{aligned}$$ より，$z = t$ における $S$ の断面の方程式は， $$\begin{cases} z = t\\ x^2 + y^2 = \left(e^{t^2} - 1\right)^2 \end{cases}$$ よって，$S$ は $$\begin{aligned} x^2 + y^2 = \left(e^{z^2} - 1\right)^2\:\:\cdots(1)\\ 0 \leq z \leq \sqrt{\log 2}\:\:\cdots(2) \end{aligned}$$ で表される。$(2)$ のもとで，$(1)$ は $$\begin{aligned} e^{z^2} - 1 &= \sqrt{x^2 + y^2}\\ e^{z^2} &= \sqrt{x^2 + y^2} + 1\\ z^2 &= \log \left(\sqrt{x^2 + y^2} + 1\right)\\ \therefore z &= \sqrt{\log \left(\sqrt{x^2 + y^2} + 1\right)} \end{aligned}$$ と変形される。$0 \leq s \leq 1$ なる実数 $s$ を用いて，$x = s$ における $S$ の断面を考える。$V$ の断面の方程式は $$z = \sqrt{\log \left(\sqrt{x^2 + y^2} + 1\right)} = f(y)$$ で表される。$z = f(y)$ は $y$ に関して偶関数であり，$y \geq 0$ においては単調増加関数である。概形は以下の通り。

これを $x$ 軸を中心に $1$ 回転させると，大きい円から，同心円である小さい円をくり抜いた形をした，$V$ の断面となる。内径は $\sqrt{\log(s+1)}$，外径は $$\sqrt{\left(\sqrt{1-s^2}\right)^2 + \left(\sqrt{\log 2}\right)^2} = \sqrt{1 + \log 2 -s^2}$$ である。これより，$x = s$ における $V$ の断面の面積は $$\begin{aligned} \pi \left\{ \left(\sqrt{1 + \log 2 -s^2}\right)^2 - \left(\sqrt{\log(s+1)}\right)^2 \right\}\\ =\pi\left(1 + \log 2 -s^2 -\log (s +1)\right) \end{aligned}$$ よって，$V$ の体積 $W$ は， $$\begin{aligned} W &= 2 \int_0^1 \pi \left(1 + \log 2 -s^2 -\log (s +1)\right)\\ &= 2\pi \left[(1 + \log 2 ) s -\dfrac{1}{3}s^3 - (s + 1) \log (s + 1) + s\right]_0^1\\ &= 2\pi \left(1 + \log 2-\dfrac{1}{3}-2\log 2 + 1 \right)\\ &= \dfrac{10}{3}\pi - 2\pi \log 2 \end{aligned}$$