論理クイズ（帽子の色当て問題）

以下のゲームにおいて $\dfrac{1}{2}$ よりも高い確率で成功する「作戦」を考えよ。

• 登場人物は $n$（$\geq 3$）人。みんなで協力して成功を目指す

• 各々，黒か白の帽子をかぶせられる

• どちらの色なのかはランダム（確率 $\frac{1}{2}$），それぞれ独立

• 各々，自分の帽子の色は分からないが，他の $n-1$ 人の帽子の色は分かる

• 他人の帽子の色を見た上で，みんなで事前に話し合って決めた「作戦」に基づき，各々が（全員同時に）自分の帽子の色を予測する。ただし，パスすることもできる。

• 「成功」の条件は，「全員がパス」ではない，かつパスしなかった人は全員正解。

答えを見る前に考えてみてください！

確率 $\dfrac{1}{2}$ で成功する作戦を構成するのは簡単です。$n$人のうちリーダーを一人決めて，リーダーが「黒」，それ以外の人が「パス」を選べばOKです。

他の人の帽子の色を見たところで自分の帽子の色の情報は何も得られないのだから，成功確率を $\dfrac{1}{2}$ よりも高くすることはできないと考える人もいるでしょう。しかし，$\dfrac{1}{2}$ よりも高くできるのです！

3人の場合の結果は4人以上の場合にも使えます（けっこう気づくの難しい）。

ちなみに，さらに成功確率が高い作戦も存在します。 $n=2^k-1$（$k$は$2$ 以上の整数）の場合には成功確率が $\frac{n}{n+1}$ である作戦が構成できます（ハミング符号というものを用いる）。