四分位数の求め方といろいろな例題

データを小さい順に並べたときに，

• 下から $\dfrac{1}{4}$ の部分にある数を第1四分位数

• ちょうど真ん中にある数を第2四分位数

• 上から $\dfrac{1}{4}$ の部分にある数を第3四分位数

と言います。

「下から $\dfrac{1}{4}$ の部分」をどう定めるかには，いくつか考え方があります。最も一般的な方法は，幅を四等分する方法です。データを並べて（データ数について）幅を四等分します。

平均値や中央値を使えば，データのおおまかな傾向を1つの数字で表現することができます。

一方， 四分位数を使えば，データのおおまかな傾向を3つの数字で表現することができます。「中央値が9」と言うよりも「四分位数が4,9,12」と言う方が，データの傾向をより正確に表現できます。

さらに，四分位数には「外れ値の影響を受けない」というメリットがあります。

例えば，さきほどの計算例では，$100$ という外れ値をスルーできています。

このように外れ値に引っ張られにくので，四分位数は「頑強」と言われることがあります。

さきほどの例題のように，データの数が $4$ の倍数 $+1$ のときには各分点に対応するデータが存在して，四分位数を計算することができました。

しかし，そうでないときには，分点が中間に来ます。 その場合は，近い2点のデータの重み付き平均を取るという考え方が一般的です。

データ数が偶数のときには一つの区間幅には $\dfrac{3}{4}$ などが登場します。このような場合，重みを $0.25$ （分点から遠い側），$0.75$ （近い側）とした重み付き平均を考えます。

四分位数の定義として「幅を4等分する」考え方を紹介しましたが，「半分に割って，さらに半分に割る」という考え方もできます。

つまり，四分位数の2つめの定義として， 中央で上半分と下半分に分けて，下半分の中央値を第1四分位数，上半分の中央値を第3四分位数とするという考え方もあります。

この方法だと $0.75$ の重みなどを考えなくてよいので，さきほどの方法より単純です。

高校の数学1の教科書（東京書籍）にもこちらの方法が採用されています。

上の方法と区別したいときは，こちらの方法で求めた四分位数を ヒンジと言います。

注：さきほどの四分位数と今回のヒンジでは微妙に値が異なります。一般的にヒンジの方が「端っこに近い」値を取ってきます。

ヒンジの方が端っこに近いのは図を見て納得して下さい！

• この他にも四分位数の定め方には流儀があるのでテストに出しにくい話題だと思います。

• ただし（少なくとも東京書籍の）教科書にはヒンジが四分位数として載っていたので，高校生はヒンジを覚えておけばOKだと思います。

• 実際のデータを扱う場合はデータ数が大量にあることが多く，どの流儀を使っても得られる数値は大差ないのであまり心配する必要はありません。

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