偏差値の意味・目安・5つの性質

偏差値とは, 50+10×その人の点数ー平均標準偏差50+10×\dfrac{その人の点数ー平均}{標準偏差} で計算される指標です。

偏差値

偏差値の目安

  • 偏差値30:「上から98%」

  • 偏差値35:「上から93%」

  • 偏差値40:「上から84%」

  • 偏差値45:「上から69%」「3人に2人は偏差値45以上」

  • 偏差値50:「上から50%」「2人に1人の平均的な人」

  • 偏差値55:「上から31%」「3人に1人の賢い人」

  • 偏差値60:「上から16%」「6人に1人の賢い人」

  • 偏差値65:「上から7%」「15人に1人の逸材」

  • 偏差値70:「上から2%」「45人に1人の天才」

※試験の得点分布が正規分布に従うと仮定した場合です。実際は正規分布と異なるのであくまで目安です。

偏差値の性質

偏差値の性質1

得点が高い人ほど偏差値は高い

実際, 50+10×その人の点数ー平均標準偏差50+10×\dfrac{その人の点数ー平均}{標準偏差} を見ると「その人の点数」が高いほど偏差値が高いことがわかります。当然ですが,「80点の人が90点の人より偏差値が低い」なんてことはありません。

偏差値の性質2

得点が平均点と同じ場合,偏差値は 5050

実際, 50+10×その人の点数ー平均標準偏差50+10×\dfrac{その人の点数ー平均}{標準偏差} を見ると「その人の点数」と「平均」が同じとき,第2項が消えて偏差値は 5050 になります。

偏差値の性質3

偏差値はマイナスになることも 100100 を超えることもある

実際, 50+10×その人の点数ー平均標準偏差50+10×\dfrac{その人の点数ー平均}{標準偏差} はマイナスになることも 100100 を超えることもあります。例えば,100100 人のテストで自分以外が全員 00 点で自分が 100100 点なら,平均点は 11 で標準偏差は 9.99.9 となり自分の偏差値は 150150 になります!

偏差値の性質4

得点が「標準偏差ぶん」だけ上がると,偏差値は 1010 上がる

例えば標準偏差が 1515 の場合,偏差値が 5050 の人と 6060 の人では点数に 1515 点差があります。

偏差値の性質5

標準偏差が小さいほど高偏差値も低偏差値もとりやすくなる

偏差値の計算例

平均点と標準偏差がわかっている場合は偏差値の計算は簡単です。

平均点が 6060 で標準偏差が 88 であるテストで 7676 点を取った人の偏差値はいくつか?

解答

50+10×その人の点数ー平均標準偏差50+10×\dfrac{その人の点数ー平均}{標準偏差}

という偏差値の定義式に代入すると

50+10×(7660)÷8=7050+10\times(76-60)\div 8=70

となり偏差値は 7070

平均と標準偏差がわからない場合

平均点と標準偏差がわからない場合は,先に平均点と標準偏差を計算する必要があります。

  1. 平均 μ\mu は「全員の合計点数」÷「人数」で計算されます:
    μ=1Ni=1Nxi\mu=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^Nx_i
    ※ただし,人数を NN とし,それぞれの点数を x1,x2,,xNx_1, x_2, \cdots, x_N とおきました。平均的な人が取る点数が μ\mu 点ということです。

  2. 標準偏差 σ\sigma は分布の散らばり方を表す指標です。具体的には「(点数ー平均点)の二乗の和÷全体人数」の平方根で定義されます:
    σ=1Ni=1N(xiμ)2\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}
    σ\sigma が大きいほど分布が偏っている,つまり高得点や低得点の人がたくさんいることになります。

  3. 平均を μ\mu,標準偏差を σ\sigma,その人の得点を xix_i とすると,その人の偏差値 TiT_i は,
    Ti=xiμσ×10+50T_i=\dfrac{x_i-\mu}{\sigma}\times 10+50
    となります。

偏差値計算の手順

平均 μ\mu を求める→標準偏差 σ\sigma を求める→偏差値を求める

という流れです。 N=5N=5 の場合の具体例でそれぞれの人の偏差値を求めてみます。

例題

55 人の点数を 60,70,80,95,9560, 70, 80, 95, 95 点とする。

各人の偏差値を計算せよ。

解答

平均は,μ=15(60+70+80+95+95)=80\mu=\dfrac{1}{5}(60+70+80+95+95)=80

標準偏差は,σ=15(202+102+02+152+152)=190\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{5}(20^2+10^2+0^2+15^2+15^2)}=\sqrt{190}

よって例えば 6060 点の人の偏差値は,
6080190×10+5035.5\dfrac{60-80}{\sqrt{190}}\times 10+50\fallingdotseq 35.5

7070 点の人の偏差値は,
7080190×10+5042.7\dfrac{70-80}{\sqrt{190}}\times 10+50\fallingdotseq 42.7

8080 点の人の偏差値は,
8080190×10+50=50\dfrac{80-80}{\sqrt{190}}\times 10+50=50

9595 点の人の偏差値は,
9580190×10+5060.9\dfrac{95-80}{\sqrt{190}}\times 10+50\fallingdotseq 60.9

3桁の偏差値をとってみたいものです

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