偏差値の計算方法と様々な性質

偏差値と得点

偏差値の性質１：

得点が高ければ高いほど偏差値は高いです。

実際，偏差値の計算式

$T_i=\dfrac{x_i-\mu}{\sigma}\times 10+50$

を見ると，得点 $x_i$ が大きいほど偏差値 $T_i$ が大きいことが分かります。

偏差値と平均点

偏差値の性質２：

得点が平均点と同じ場合，偏差値は $50$ になります。

実際，偏差値の計算式

$T_i=\dfrac{x_i-\mu}{\sigma}\times 10+50$

を見ると，$x_i=\mu$ の場合に偏差値が $50$ になることが分かります。

また，平均点より低い場合は偏差値が $50$ より小さく，平均点より高い場合は偏差値が $50$ より大きくなります。

偏差値と標準偏差

偏差値の性質３：

得点が「標準偏差($=\sigma$)」だけ上がると，偏差値は $10$ 上がります。

実際，偏差値の計算式

$T_i=\dfrac{x_i-\mu}{\sigma}\times 10+50$

を見ると，$x_i$ が $\sigma$ 増えるごとに偏差値が $10$ 上がることが分かります。

標準偏差 $\sigma$ は，点数のバラつきの大きさを表す指標です。

偏差値30：点数は $\mu-2\sigma$

偏差値40：点数は $\mu-\sigma$

偏差値50：点数は $\mu$

偏差値60：点数は $\mu+\sigma$

偏差値70：点数は $\mu+2\sigma$

となります。

ちなみに，偏差値 $60$ 以上は全体の $15$ %, $70$ 以上は全体の $2$ %程度となる場合が多いです。

偏差値計算の準備：平均と標準偏差

偏差値を計算するためには，先に平均点と標準偏差を計算する必要があります。そこで，まずは平均と標準偏差の計算方法を復習します。

$N$ 人のテストの場合を考えます。それぞれの点数を $x_1, x_2, \cdots, x_N$ とおきます。

平均 $\mu$ は期待値とも呼ばれるお馴染みの指標です：

$\mu=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^Nx_i$

平均的な人が取る点数が $\mu$ 点ということです。

標準偏差 $\sigma$ は分布の散らばり方を表す指標です。

$\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}$

$\sigma$ が大きいほど分布が偏っている，つまり高得点や低得点の人がたくさんいることになります。

実際に偏差値の計算を行うときは，

平均 $\mu$ を求める→標準偏差 $\sigma$ を求める→偏差値を求める

という流れになります。

偏差値計算の具体例

次に $N=5$ の場合の具体例でそれぞれの人の偏差値を求めてみます。

$5$ 人の点数を $60, 70, 80, 95, 95$ 点とします。

平均は，$\mu=\dfrac{1}{5}(60+70+80+95+95)=80$

標準偏差は，$\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{5}(20^2+10^2+0^2+15^2+15^2)}=\sqrt{190}$

よって例えば $60$ 点の人の偏差値は，

$\dfrac{60-80}{\sqrt{190}}\times 10+50\fallingdotseq 35.5$

$80$ 点の人の偏差値は，

$\dfrac{80-80}{\sqrt{190}}\times 10+50=50$

$95$ 点の人の偏差値は，

$\dfrac{95-80}{\sqrt{190}}\times 10+50\fallingdotseq 60.9$

高い偏差値を取るための条件

・標準偏差が小さいほど高偏差値も低偏差値もとりやすくなります。

実際，$\sigma$ が大きいほど $T_i$ を表す1次関数の傾きが急になります。

・偏差値はマイナスになることも $100$ を超えることもあります。

$100$ 人のテストで自分以外が全員 $0$ 点で自分が $100$ 点なら $\mu=1, \sigma=9.9$

で自分の偏差値は $150$ になります！！！

つまり，点数のバラツキが小さく平均点が低いようなテストで，自分だけ高得点を取れば偏差値は非常に高くなります。

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