1/(1-x) のテイラー展開と近似式

更新 2021/03/07

$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$

$(-1 < x < 1)$

単純に初項 $1$ ，公比 $x$ の無限等比級数（→無限等比級数の収束，発散の条件と証明など）と考えることもできますが，他の見方もあります。

有名な近似式

xxx
 が
000
 に近いとき，冒頭の式で
xxx
 の二次以上の項を無視することで，
11−x≒1+x\dfrac{1}{1-x}\fallingdotseq 1+x1−x1​≒1+x
を得ます。これは物理でもときどき使う近似式です。
11+x≒1−x\dfrac{1}{1+x}\fallingdotseq 1-x1+x1​≒1−x
と書くこともできます。
より一般に，b≠0b\neq 0b=0
 のとき，
ab−cx=ab⋅11−(cbx)≒ab(1+cbx)\dfrac{a}{b-cx}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{1}{1-(\frac{c}{b}x)}\\
\fallingdotseq\dfrac{a}{b}\left(1+\dfrac{c}{b}x\right)b−cxa​=ba​⋅1−(bc​x)1​≒ba​(1+bc​x)
という
xxx
 が
000
 に近いときに使える一次近似式が成立します。

テイラー展開から導出

実は，冒頭の式は $\dfrac{1}{1-x}$ の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）とみなせます。これを確認してみましょう。

前提知識：マクローリン展開

証明

$\dfrac{1}{1-x}$ のテイラー展開です。

$f(x)=\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}$ とおくと，

$f'(x)=(-1)(1-x)^{-2}\cdot(-1)=(1-x)^{-2}$

二階微分は，

$f''(x)=(-2)(1-x)^{-3}\cdot(-1)\\ =2(1-x)^{-3}$

以下同様にして，

$f^{(n)}(x)=n!(1-x)^{-n-1}$

であることが分かる。

よって，全ての非負整数 $n$ に対して

$f^{(n)}(0)=n!$

である。

したがって，テイラー展開の式

$f(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!}x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$

より，

$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$

となる。

グラフ

せっかくなのでグラフの概形を書いてみました。
青：y=11−xy=\dfrac{1}{1-x}y=1−x1​
（反比例のグラフを平行移動させたもの）
黒：y=1+xy=1+xy=1+x
たしかに
xxx
 が
000
 に近いとき，青と黒は近いです。
赤：y=1+x+x2+x3y=1+x+x^2+x^3y=1+x+x2+x3
（三次の項まで残して四次以上を無視したもの）
は黒よりもさらに
y=11−xy=\dfrac{1}{1-x}y=1−x1​
 に近いです。
分母が二次式になると，高階導関数を計算するのが一気に大変になります。