1/(1-x) のテイラー展開と近似式

$x$ が $0$ に近いとき，冒頭の式で $x$ の二次以上の項を無視することで，

$\dfrac{1}{1-x}\fallingdotseq 1+x$

を得ます。これは物理でもときどき使う近似式です。

$\dfrac{1}{1+x}\fallingdotseq 1-x$

と書くこともできます。

より一般に，$b\neq 0$ のとき，

$\dfrac{a}{b-cx}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{1}{1-(\frac{c}{b}x)}\\ \fallingdotseq\dfrac{a}{b}\left(1+\dfrac{c}{b}x\right)$

という $x$ が $0$ に近いときに使える一次近似式が成立します。

実は，冒頭の式は $\dfrac{1}{1-x}$ の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）とみなせます。これを確認してみましょう。

前提知識：マクローリン展開

せっかくなのでグラフの概形を書いてみました。

青：$y=\dfrac{1}{1-x}$ （反比例のグラフを平行移動させたもの）

黒：$y=1+x$

たしかに $x$ が $0$ に近いとき，青と黒は近いです。

赤：$y=1+x+x^2+x^3$

（三次の項まで残して四次以上を無視したもの）

は黒よりもさらに $y=\dfrac{1}{1-x}$ に近いです。