合成関数について理解しておくべき性質まとめ

合成関数とは「2つの関数を順番に適用したもの」のことです。

$f(x)$ の $x$ の部分に $g(x)$ を代入するわけです。例を見てみましょう。

合成の順番

• 例1で見たように，合成の順番を替えると，結果も異なります。つまり，一般に $f\circ g\neq g\circ f$ です。

• $f\circ g$ が $f(g(x))$ のことなのか $g(f(x))$ のことなのか混同しやすいので，自分なりの方法で覚えましょう。例えば「記号の順番は入れ替わらない（$f\circ g$ も $f(g(x))$ も $g$ が右側にある）」あるいは「$x$ に近い方から順に作用させる」などと覚えるとよいです。

合成関数に関連する公式の中で圧倒的に重要なのが「合成関数の微分公式」です。

この公式の意味と例題は合成関数の微分公式と例題７問で解説しています。

また，多変数関数の場合は連鎖律という定理に拡張されます。大学数学で大変お世話になる公式です。連鎖律（多変数関数の合成関数の微分）

• 合成関数の微分は公式がありますが，積分はできるとは限りません。
• つまり，$f(x)$ と $g(x)$ が積分できても，$\displaystyle\int f(g(x))dx$ が計算できるとは限りません。
• 例えば，$\displaystyle\int e^{-x^2}dx$ は二次関数と指数関数の合成の積分ですが，原始関数を初等関数で書き下すことはできません。→ガウス積分の公式の２通りの証明
• 他にも「簡単な関数の合成だが積分できない例」を原始関数の定義といろいろな例の記事末で紹介しています。
• ただし，$g(x)$ が一次関数なら以下のように積分できます。

合成関数の微分公式を使って右辺を微分すれば被積分関数と一致することがわかります。

両者は等しいので，この関数のことを $f\circ g\circ h$ と書くことができます！（もし両者が等しくないと $f\circ g\circ h$ が $f\circ (g\circ h)$ のことなのか $(f\circ g)\circ h$ のことなのかわからないので困る）

$n$ 個の関数の合成も同様です。 $f_1\circ f_2\circ\cdots\circ f_n$ を考えることができます。その際，結合法則のおかげでカッコをつけずに書くことができます。

• $(f\circ f)(x)$ のことを $f^2(x)$ と書くことがあります。ただし，関数の積 $f(x)\times f(x)$ と紛らわしいので，あまりおすすめしません。$(f\circ f)(x)$ と書けばよいです。
• $n$ 個の関数の合成 $(f\circ f\circ \cdots\circ f)(x)$ のことを $f^n(x)$ と書くことがあります。これも関数の積と紛らわしいですが，$n$ 個の場合は簡潔に記述できるメリットもあるので，積を表すのか合成を表すのか明確にした上で使ってもよいと思います。
• 例えば，テント写像とその性質〜東大入試の背景〜では $n$ 個の関数の合成が登場します。

• 関数 $f(x)$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ を合成すると元に戻ります。つまり，$(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x$ です。→逆関数の３つの定義と使い分け

• 一次関数と一次関数の合成は一次関数です。より一般に，線形写像と線形写像の合成は線形写像です。→行列の積の定義とその理由