領域を図示するテクニック【絶対値つき不等式】

絶対値の中身である $x+y$ の正負で場合分けする。

• $x+y\geq 0$ の場合，つまり $y\geq -x$ の場合，
  与えられた不等式は $x+y\leq 1$，つまり $y=-x+1$ の下側
• $x+y<0$ の場合，つまり $y<-x$ の場合，
  与えられた不等式は $-(x+y)\leq 1$，つまり $y=-x-1$ の上側

以上より，求める領域は図のグレー部分（境界含む）。

絶対値の中身である $x$ と $y$ の正負で場合分けする。

• $x\geq 0$ かつ $y\geq 0$ の場合
  $x+y\leq 1$，つまり $y=-x+1$ の下側
• $x\geq 0$ かつ $y< 0$ の場合
  $x+(-y)\leq 1$，つまり $y=x-1$ の上側
• $x< 0$ かつ $y\geq 0$ の場合
  $(-x)+y\leq 1$，つまり $y=x+1$ の下側
• $x< 0$ かつ $y< 0$ の場合
  $(-x)+(-y)\leq 1$，つまり $y=-x-1$ の上側

以上より，求める領域は図のグレー部分（境界含む）。

$|x+y|\leq 1$
$\iff -1\leq x+y\leq 1$
$\iff -x-1\leq y\leq -x+1$

より，求める領域は図のグレー部分（境界含む）。

$|x|+|y|\leq 1$ という不等式が成立するか否かは，$x\to -x$ としても $y\to -y$ としても変わらない。よって，図示したい領域は $x$ 軸に関しても $y$ 軸に関しても対称である。よって，$x\geq 0,y\geq 0$ の範囲で領域がわかれば十分。

この範囲では，$x+y\leq 1$，つまり $y=-x+1$ の下側（図の①部分）。

$|x+y|\leq 1$ は，$\dfrac{|x+y|}{\sqrt{2}}\leq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

と変形できる。よって，直線 $y=-x$ からの距離が $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 以下の領域を図示すればよい。

$|x|+|y|\leq 1$ について，

1. 直線 $x=0$ と $y=0$ を書く
2. 直線上での限界点をそれぞれ求める
   $x=0$ 上では，条件は $|y|\leq 1$ なので限界点は $(0,-1)$ と $(0,1)$
   $y=0$ 上では，条件は $|x|\leq 1$ なので限界点は $(-1,0)$ と $(1,0)$
3. 以上4つの頂点を線分で結ぶと領域が図示できる

1. 考える直線は，$y=0$ と $x+y=0$ と $x-y=0$ であり，これらはすべて原点を通る。
2. 限界点をそれぞれ求める。
   $y=0$ 上では条件は $2|x|\leq 6$ なので $(\pm3,0)$
   $y=x$ 上では条件は $|x|+|2x|\leq 6$ なので $(\pm2,\pm2)$(複号同順)
   $y=-x$ 上でも同様に $(\pm2,\mp2)$（複号同順）
3. この6点を結ぶ六角形の内側（境界含む）が求める領域。