絶対値を含む関数のグラフの３通りの書き方

まずは，中身の符号で場合分けして絶対値を外す方法です。絶対値の処理の定石です。

メリット：絶対値がいくつもあったり，絶対値の中に絶対値があるような複雑な関数にも使える，迷ったらこの方法

デメリット：丁寧に場合分けするのはめんどう

次は下側を折り返す方法を紹介します。

$|f(x)|=\begin{cases}f(x) &f(x)\geq 0\\-f(x)& f(x) <0\end{cases}$

なので，$y=|f(x)|$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを描いて，$x$ 軸より下側にある部分を $x$ 軸に関して折り返すことで描けます。

メリット：場合分けしなくてよいので簡単

デメリット：基本的に $y=|f(x)|$ というタイプにしか使えない

$\max\{a,b\}$ は $a$ と $b$ のうち大きい方という意味です。任意の実数 $a$ に対して $|a|=\max\{a,-a\}$ です。

$|f(x)|=\max\{f(x),-f(x)\}$ なので，$y=|f(x)|$ のグラフは $y=f(x)$ と $y=-f(x)$ のグラフを両方描いて大きい方をつなげば描けます。

$|f(x)|+|g(x)|\\=\max\{f(x)+g(x),f(x)-g(x),-f(x)+g(x),-f(x)-g(x)\}$

なので，$y=|f(x)|+|g(x)|$ のグラフは 絶対値を含まない関数のグラフを四つ描いて一番大きい物をつなげば描けます。

メリット：区分線形関数への理解が深まる

デメリット： $\displaystyle\sum_{i}|f_i(x)|$ という形の関数にしか使えない

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT133では，絶対値を含む関数のグラフを書くときの検算のコツも紹介しています。

連続関数は絶対値を取っても連続関数です。実際，例題1〜例題3のグラフは全てちぎれている部分はありませんでした。

この手の問題で自分の描いたグラフに不連続な部分があったら，計算ミスを疑いましょう（特に一つ目の方法は誤って不連続なグラフを描きやすい）。

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