定積分

$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ のことを $f(x)$ の区間 $a\leqq x\leqq b$ における定積分と言います。

※ 微分すると $3x^2$ になる関数として $F(x)=x^3+5$ などと定数を足したものも取れますが，$F(2)-F(1)$ の計算結果は必ず $7$ で同じになります。

例題1で見たように，定積分 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ の計算は以下の2ステップでできます。

2はただ計算するだけです。 1は不定積分の計算です。つまり，定積分を計算するためにも，不定積分をしっかりマスターすることが大事と言えます。
→不定積分の意味・公式・例題

※ステップ1の不定積分の計算は不定積分の意味・公式・例題の例題3で詳しく解説しています。

補足：定積分の表記方法

定積分の計算の途中で出てくる $F(b)-F(a)$ のことを $[F(x)]_a^b$ と書くことがあります。この表記を使うと，例題2の解答は以下のようにかけます：
$\displaystyle\int_0^1(4x^2+3x-1)dx\\ =\left[\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2-x\right]_0^1\\ =\dfrac{11}{6}-0\\ =\dfrac{11}{6}$

補足：定積分は計算が大変

定積分のステップ2はただ計算するだけですが，計算量が多くミスしやすいです。そのため，工夫して計算量を減らすことも大事です。

例えば，偶関数や奇関数の場合に使えるテクニック→偶関数と奇関数の意味，性質などまとめや，1/6公式 を知っておくとよいです。

定積分はなぜ $F(b)-F(a)$ という定義なのか？　何の役に立つのか？
→ いろいろな応用があるから。例えば，定積分を使うと面積・体積・曲線の長さなど図形に関するいろいろな量が計算できます。

• 図形の面積：
  例えば，以下の斜線部分の面積は$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ という定積分で計算できます。 →なぜ定積分で面積が求まるのか

• 図形の体積：
  例えば，錐体の体積や球の体積公式を導出するのに定積分が活躍します。
  →錐体の体積に1/3がつくことの２通りの説明

• 曲線の長さ：
  曲線の長さの計算でも定積分が活躍します。
  →曲線の長さを計算する積分公式（弧長積分）

定積分と不定積分の違い・関係を整理します。

定積分と不定積分の違い

• 定積分は $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ のように $\displaystyle\int$ の上下に数がくっつきます。不定積分は $\displaystyle\int f(x)dx$ のように $\displaystyle\int$ の上下に数はくっつきません。

• 定積分の計算結果は数です。不定積分の計算結果は関数（の集合）です。

定積分と不定積分の関係

• 不定積分の結果に区間の両端の値を代入すれば 定積分が計算できます。つまり，不定積分が計算できれば定積分も計算できます。

• しかし「不定積分が計算できなくても定積分なら計算できる場合」もあります。