不定積分の意味・公式・例題

微分すると $f(x)$ になる関数（全体）のことを $f(x)$ の不定積分と言う。

$f(x)$ の不定積分を $\displaystyle\int f(x)dx$ と書く。

$\displaystyle\int xdx=\dfrac{x^2}{2}+C$

$\displaystyle\int x^2dx=\dfrac{x^3}{3}+C$

より一般に，

$\displaystyle\int x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

定数 $a$ は積分の前に出せる：
$\displaystyle\int af(x)dx=a\displaystyle\int f(x)dx$

和は分解できる：
$\displaystyle\int\{f(x)+g(x)\}dx=\displaystyle\int f(x)dx+\displaystyle\int g(x)dx$

$\displaystyle\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\:\:(a\neq -1)$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x}dx=\log|x|+C$

$\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C$

$\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C$

$\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$

$\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C$

• 部分積分：
  $$\displaystyle\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x)dx$$ ただし，$f'$ は $f$ の微分，$G$ は $g$ の積分)（$G'(x)=g(x)$）。

• 置換積分：
  $x=g(t)$ と置換すると，$\displaystyle\int f(x)dx=\displaystyle\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$