シグマ記号の意味とその公式の応用例

$\Sigma$ は「たくさんの足し算」を簡潔に表すための記号です。

$\displaystyle\sum_{k=1}^n$ という見た目がごついので身構えてしまいがちですが，意味はただの足し算です。「$k=1$ から $n$ まで順々に代入したものを足す」という意味です。

$\Sigma$ を使うと，たくさんの足し算を簡潔に表せます。 例えば，$1$ から $21$ までの奇数の和は $$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21$$ という式で表せますが，このように全て書くのは大変です。シグマ記号を使えば $$\displaystyle\sum_{k=1}^{11}(2k-1)$$ のようにスッキリ書けます。 「$k=1$ から $11$ まで順々に $2k-1$ に代入したものを足す」つまり「$1$ から $21$ までの奇数を足す」という意味になります。

もちろん， $$1+3+\cdots +21$$ と書いても普通は伝わりますが，屁理屈を言えば $1+3+6+10+15+21$ のことかもしれず，$\cdots$ を使った表現はあいまいです。 つまり $\Sigma$ は「数学的に厳密に，多くのたし算を記述できる道具」とも言えます。

シグマ記号に関する補足

• $\Sigma$ は「シグマ」と読みます。
• $\Sigma$ はアルファベットの $s$ に対応するギリシャ文字の $\sigma$ の大文字です。 英語で総和を意味する “sum” という単語の頭文字を取ってきています。
• シグマ記号の下に書いてある $k$ は他の文字でも同じ意味になります。つまり $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ も $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$ も $\displaystyle\sum_{X=1}^n a_X$ も同じ意味です。

シグマ記号を使う理由の1つとして 一般項が多項式である数列の和を簡単に計算できることが挙げられます。

シグマ記号の「2つの性質」を理解すれば，さきほど紹介した $$\displaystyle\sum_{k=1}^{11}(2k-1)$$ や $$\sum_{k=1}^n (3k^2-6k+1)$$ などの計算を素早くできます。ここで「2つの性質」とは

• シグマ記号は分解できる（線形性）
• べき乗のシグマは簡単に計算できる

という性質です。それぞれ詳しく説明していきます。

シグマ記号に関連して，以下の性質が成立します。

この式は，

• シグマ記号は分配法則のように，それぞれの項に分けることができる
• さらに定数は外に出せる

ことを表しています。簡単に以下で証明します。

例えば，さきほどの例 $\displaystyle\sum_{k=1}^{11}(2k-1)$ は以下のように分解できます： $$\sum_{k=1}^n (2k-1) = 2\sum_{k=1}^nk - \sum_{k=1}^n1$$ 他にも， $$\sum_{k=1}^n (3k^2-6k+1) = 3\sum_{k=1}^nk^2 -6\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1$$ のように分解できます。分解して何が嬉しいのかは後ほど説明します。

ちなみに，このように分解できる性質を「線形性」と言います。→高校数学における線形性の8つの例

$\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2$ や $\displaystyle \sum_{k=1}^n k$ や $\displaystyle \sum_{k=1}^n1$ といった，べき乗のシグマは冒頭で紹介した公式： $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} a &= na \\ \sum_{k=1}^{n} k &= \dfrac{1}{2} n(n+1) \\ \sum_{k=1}^{n} k^2 &= \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ \sum_{k=1}^{n} k^3 &= \left\{\dfrac{1}{2} n(n+1)\right\}^2 \\ \end{aligned}$$ により簡単に計算できます。公式の証明は後ほど行います。

ここまでの性質をまとめます：

• シグマ記号は分解できる（線形性）
• べき乗のシグマは簡単に計算できる
• よって，多項式のシグマは「分解」と「べき乗のシグマの公式」を使えば簡単に計算できる

これがシグマ記号が嬉しい理由の1つです。次は，具体的に多項式のシグマを計算する例題を見てみましょう。

さきほど述べたように「分解」してから「べき乗のシグマの公式」を使います： $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n (5k-1) &= 5\sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n1\\ &= \dfrac{5}{2}n(n+1) - n\\ &= \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \end{aligned}$$

同じように「分解」してから「べき乗のシグマの公式」を使います。その前に，因数分解された形を展開する必要があります：

$$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n (2k-1)(3k+4) \\ &= \sum_{k=1}^n (6k^2+5k-4)\\ &= 6\sum_{k=1}^nk^2 +5\sum_{k=1}^nk -4\sum_{k=1}^n1\\ &= 6\cdot\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\dfrac{5}{2}n(n+1)-4n\\ &= 2n^3 + \dfrac{11}{2}n^2 - \dfrac{n}{2} \end{aligned}$$

$k^2$ のシグマの公式あたりから複雑になりミスをしやすくなります。慎重に計算をしましょう。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT143では，類題と計算ミスを減らすコツを解説しています。

では，冒頭にあった5つの公式を証明します。

$(1)$ 式については簡単ですね。$a$ を $n$ 回足すだけです。

また，$(2),(5)$ に関しては，それぞれ等差数列・等比数列とみなせます。

$k^2,k^3$ の和については，ある恒等式を利用します。

なお，4乗の和についても同様に証明できます。確認問題として残しておきます。答えは $$\sum_{k=1}^n k^4 = \dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$$ となります。

ちなみに，4乗以降の和については，→4乗の和，べき乗の和の公式の記事でまとめています。

追加で例題を2問解説します。

$\displaystyle \sum_{k=1}^n$ において変数は $k$ であり，$n$ は定数です。よって $n$ は外に出せることに注意しましょう。

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n &(nk^3 + 6n^2k^2 + n^2(n+1))\\ &= n\sum_{k=1}^nk^3 +6n^2 \sum_{k=1}^nk^2 + n^2(n+1)\sum_{k=1}^n1\\ &= n\cdot \dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2 +n^2 \cdot n(n+1)(2n+1) + n^3(n+1)\\ &= \dfrac{9}{4} n^3(n+1)^2 \end{aligned}$$

シグマ記号をつかって総和を求めるには，まずは 一般項を求めなければなりません。 この数列は等比数列であり，初項は $1$, 公比は $-3$ であるから，一般項は $(-3)^{n-1}$ と表せます。よって，数列の第１項から第 $n$ 項までの総和は， $$\sum_{k=1}^{n} (-3)^{k-1} = \dfrac{1-(-3)^n}{1+3}=\dfrac{1-(-3)^n}{4}$$

以上が基本的な問題です。これくらいの問題には時間をかけず計算できるようになっておきましょう。

シグマ記号に関連する発展的な問題例をいくつか挙げます：

• 分数で表された数列の問題→分数で表された数列の和の問題と一般化
• 階差数列の問題→階差数列の意味と、もとの数列の一般項を求める方法
• 等比数列と等差数列がミックスされたような数列の和の問題→等差×等比，2乗×等比の和を求める２通りの方法

また，今回は出てきませんでしたが，$k$ の動く範囲が $1$ から $n$ でない場合もあります。このような場合どうやって対処すべきか，こちらの記事でまとめています。→シグマ計算を機械的に行うための３つの公式