階差数列の意味と、もとの数列の一般項を求める方法

差を並べていくと，$1,3,5,7,9$ となります。

きちんと式で書くと，

• $b_1=a_2-a_1=2-1=1$
• $b_2=a_3-a_2=5-2=3$
• $b_3=a_4-a_3=10-5=5$
• $b_4=a_5-a_4=17-10=7$
• $b_5=a_6-a_5=26-17=9$

$$\begin{aligned} a_2 &=a_1+(a_2-a_1)\\ &=a_1+b_1\\ a_3 &=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)\\ &=a_1+b_1+b_2 \end{aligned}$$

$a_4$ 以降も同様。

階差数列 $b_n$ を先頭から計算すると，$1,3,5,7,9$ であった。これより $b_n$ は等差数列であり，$b_n=2n-1$ を得る。

よって，さきほどの和の式を用いると，$n\geq 2$ のとき（場合分けの意味は後述）

$$\begin{aligned} a_n&=a_1+ \sum_{i=1}^{n-1}b_i\\ &=1+ \sum_{i=1}^{n-1} (2i-1)\\ &=1+2\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}-(n-1)\\ &=n^2-2n+2 \end{aligned}$$

これは $n=1$ のときも正しい。

条件より $a_{n+1} - a_n = a_n$ であるため $a_{n+1} = 2 a_n$ を得る。

よって $a_n = a \times 2^n$ である。