階差数列を用いて一般項を求める方法について

階差数列の考え方

$a_2=a_1+(a_2-a_1)$

$a_3=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)$

$a_4=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)$

という式を一般化すると，

$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)$ を得ます。これより，数列 $b_n=a_{n+1}-a_n$ の一般項が分かればその和を取ることで一般項 $a_n$ が分かります。

例題

余談：高次の多項式を用いればいかようにも補間できるので，この手の問題はあまり好きではありません。ただ，時には空気を読む，場に合わせることも重要だと思っています。

場合分けについて

階差数列の公式中には $\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}$ という表記が含まれており，$n\geq 2$ でないと意味を持ちません。そのため，$n\geq 2$ と $n=1$ の場合を分けて考える必要があります。

ただし，高校数学，大学入試で登場するほとんど全ての問題では $n\geq 2$ の場合の結果が $n=1$ の場合にも正しいので，場合分けの必要性を実感しにくいです。

しかし，うまくいかないひねくれた例を作ることもできます。→階差数列，n＝1のときは必ず成り立つか？（怜悧玲瓏　～高校数学を天空から俯瞰する～　という外部サイト）

ということで，場合分けは忘れないようにしましょう！

階差数列と多項式

これは簡単な計算で確認できます，やってみてください。

• $a_n=An+B$ タイプ→等差数列だからすぐに一般項が分かる
• $a_n=An^2+Bn+C$ タイプ→階差数列が等差数列になる
• $a_n=An^3+Bn^2+Cn+D$ タイプ→階差数列の階差数列が等差数列になる

入試とかで登場するのはこの辺まででしょう。

一般に，$a_n$ が $n$ の $k$ 次多項式のとき，階差数列を $k-1$ 回取れば等差数列になります。

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