数値代入法による恒等式の解法と十分性の確認

更新日時 2023/08/15

数値代入法を使うときは十分性の確認が必要。

数値代入法

恒等式になるように変数の値を定める問題を考えます。解き方には主に係数比較法と数値代入法がありますが，この記事では数値代入法に注目します。まずは簡単な例題を1問。

例題1

$a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c=x^2-3x+1$

が恒等式となるような $a,b,c$ の値を求めよ。

（不完全な）解答

$x=1$ を代入すると， $c=1-3+1=-1$

$x=2$ を代入すると， $b+c=4-6+1=-1$

$x=0$ を代入すると， $2a-b+c=1$

これを解くと， $c=-1,b=0,a=1$

十分性の確認について

例題1の解答において「恒等式ならば
a=1,b=0,c=−1a=1,b=0,c=-1a=1,b=0,c=−1
」は分かりましたが，その逆「a=1,b=0,c=−1a=1,b=0,c=-1a=1,b=0,c=−1
 なら恒等式」は言えていません。
x=0,1,2x=0,1,2x=0,1,2
 で与式が成立することは保証していますが，恒等式（つまり任意の実数
xxx
 について成立すること）であることはまだ保証できていないのです。
そこで，以下のいずれかの対処法が必要になります。
・対処法1：十分性をきちんと確認する
（解答の続き）
実際
a=1,b=0,c=−1a=1,b=0,c=-1a=1,b=0,c=−1
 をもとの式に代入すると，左辺は
(x−1)(x−2)−1=x2−3x+1(x-1)(x-2)-1=x^2-3x+1(x−1)(x−2)−1=x2−3x+1
 となり右辺と一致する。よって，確かに与式は恒等式となっている。
・対処法2：飛び道具を使って十分性を確認する
（解答の続きバージョン2）
「xxx
 についての二次式＝
xxx
 についての二次式」という等式が異なる三つの
xxx
 について成立するならそれは恒等式である（→後述）。今，a=1,b=0,c=−1a=1,b=0,c=-1a=1,b=0,c=−1
 のとき
x=0,1,2x=0,1,2x=0,1,2
 という三つの値で等式が成立するので確かに与式は恒等式である。
・対処法3：係数比較法にする
数値代入法ではなく係数比較法を使えば十分性の確認など不要です。
注：対処法2は知識としては絶対知っておくべきですが，記述式の答案としてはあまりオススメできません（飛び道具を使うわりにけっこうな長文を書かないといけないので）。