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平面幾何の美しい定理4つ

更新日時 2021/03/07

平面図形の美しい定理を4つ紹介します。

目次
  • パップスの定理

  • ブリアンションの定理

  • パスカルの定理

  • ペンタグラムおける美しい定理

パップスの定理

パップスの定理

AABBCC が同一直線上にある。

DDEEFF が同一直線上にある。

AEAEBDBD の交点を PP

BFBFCECE の交点を QQ

CDCDAFAF の交点を RR

とするとき,PPQQRR は同一直線上にある。

メネラウスの定理を駆使することで証明できます。

ブリアンションの定理

ブリアンションの定理

円に外接する六角形 ABCDEFABCDEF について,三直線 ADADBEBECFCF は一点で交わる。

より一般に,円を一般の二次曲線に拡張したバージョンもあります。

Brianchon’s theorem(英語サイト)ではブリアンションの定理を3行で証明しています。ただし,根軸・根心についての知識が必要です。→根軸の性質と根心の存在定理

パスカルの定理

パスカルの定理

六点 AAFF が円上にある。

AEAEBDBD の交点を PP

BFBFCECE の交点を QQ

CDCDAFAF の交点を RR

とするとき,PPQQRR は同一直線上にある。

図は ABCFEDABCFED の順に並んでいる場合ですが,別の順番でもOKです。

「円と六角形」という観点で見れば,ブリアンションの定理と似ていますね(実は,二つの定理は射影幾何における「双対」という関係にある)。

また,この図(ABCFEDABCFED の順番の図)はパップスの定理とも似ていますね。

ペンタグラムおける美しい定理

ペンタグラムに関する定理

A1B1A2B2A3B3A4B4A5B5A_1B_1A_2B_2A_3B_3A_4B_4A_5B_5 がペンタグラム(5つトゲを持つ星)のとき,

A1B1B1A2A2B2B2A3A3B3B3A4A4B4B4A5A5B5B5A1=1\dfrac{A_1B_1}{B_1A_2}\cdot\dfrac{A_2B_2}{B_2A_3}\cdot\dfrac{A_3B_3}{B_3A_4}\cdot\dfrac{A_4B_4}{B_4A_5}\cdot\dfrac{A_5B_5}{B_5A_1}=1

お星様の周りを一周する感じです。

(メネラウスの定理を用いた証明など,この定理の詳細はA Menelaus-Type Theorem for the Pentagramに載っています(読者の方に教えていただきました)。

パップスの定理の図を見ていると,あやとりを思い出します。

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