ナルシシスト数について

更新日時 2021/03/07

ナルシシスト数（Narcissistic Number）の意味，有限個しかないことの証明などを解説します。

目次

  • ナルシシスト数とは

  • ナルシシスト数は有限個

  • 十進数以外のナルシシスト数

  • 十進数のナルシシスト数一覧

ナルシシスト数とは

nn 桁の正の整数 NN について，各桁の nn 乗の和がもとの数に等しいとき，NN をナルシシスト数と言います。

例えば，371=33+73+13371=3^3+7^3+1^3 なので 371371 はナルシシスト数です。

1634=14+64+34+441634=1^4+6^4+3^4+4^4 なので 16341634 はナルシシスト数です。

ナルシシスト数は有限個

ナルシシスト数は有限個しかない

証明はちょうどよい練習問題レベルです。

証明

nn 桁の数 NN について考える。

NN の各桁の nn 乗の和は，最大で 9n+9n+⋯+9n=n9n9^n+9^n+\cdots +9^n=n9^n

また，NN は nn 桁なので N≥10n−1N\geq 10^{n-1}

よって，NN がナルシシスト数なら

10n−1≤n9n10^{n-1}\leq n9^n が必要。

変形すると，(109)n−1≤9n\left(\dfrac{10}{9}\right)^{n-1}\leq 9n

これは nn が十分大きいとき不成立（指数関数は一次関数より強い→指数関数の極限と爆発性）。

注：実際 n≥61n\geq 61 だと上の不等式は破れます。

十進数以外のナルシシスト数

十進数以外のナルシシスト数も考えることができます。

例えば五進数で 2323 という数字（十進数で 1313 に対応）はナルシシスト数です。実際，22+32=4+14=232^2+3^2=4+14=23 （計算は全て五進数でやっていることに注意）となっています。

正の整数 NN がナルシシスト数であるかどうかは何進数で考えるかによります。

十進数のナルシシスト数一覧

（00 もナルシシスト数とみなせば）全部で 8888 個あります。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

153,370,371,407,

1634,8208,9474,

54748,92727,93084,

548834,1741725,4210818,

9800817,9926315,24678050,

24678051,88593477,146511208,

472335975,534494836,

912985153,4679307774

全部書こうと思ったのですが，長いので十桁以下のもののみ書きました。全て知りたい人は以下のソースをご覧ください。

ソース：Wolfram MathWorld

（今回の記事は上記リンク先を参考にしました）

名前が面白いです。口に出して言いたい数学用語ランキングがあったら多分上位です。

この記事の編集者
マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

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