ナルシシスト数について

更新日時 2023/08/06

ナルシシスト数（Narcissistic Number）というおもしろい名前の整数について紹介します。

ナルシシスト数とは

nnn
 桁の正の整数
NNN
 について，各桁の
nnn
 乗の和がもとの数に等しいとき，NNN
 をナルシシスト数と言います。
例えば，371=33+73+13371=3^3+7^3+1^3371=33+73+13
 なので
371371371
 はナルシシスト数です。
1634=14+64+34+441634=1^4+6^4+3^4+4^41634=14+64+34+44
 なので
163416341634
 はナルシシスト数です。

ナルシシスト数は有限個

定理

ナルシシスト数は有限個しかない

証明はちょうどよい練習問題レベルです。

証明

$n$ 桁の数 $N$ について考える。

$N$ の各桁の $n$ 乗の和は，最大で $9^n+9^n+\cdots +9^n=n\times 9^n$

また， $N$ は $n$ 桁なので $N\geqq 10^{n-1}$

よって， $N$ がナルシシスト数なら

$10^{n-1}\leqq n9^n$ が必要。

変形すると， $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{n-1}\leqq 9n$

これは $n$ が十分大きいとき不成立（指数関数は一次関数より強い→指数関数の極限と爆発性）。

実際， $n\geqq 61$ だと上の不等式を満たさない（※）ので，ナルシシスト数は $60$ 桁以下であるので有限個。

以下，※を帰納法で証明する。 $n=61$ のとき，計算すると $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{n-1}> 9n$ である。 $n=k\:(\geqq 61)$ のとき $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{k-1}> 9k$ と仮定すると， $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{k}>\dfrac{10}{9}\times 9k=9(k+1)+k-9>9(k+1)$ となり $n=k+1$ のときも成立。

注：実際 $n\geqq 61$ だと上の不等式は破れます。

十進数以外のナルシシスト数

十進数以外のナルシシスト数も考えることができます。
例えば五進数で
232323
 という数字（十進数で
131313
 に対応）はナルシシスト数です。実際，22+32=4+14=232^2+3^2=4+14=2322+32=4+14=23
（計算は全て五進数でやっていることに注意）となっています。
正の整数
NNN
 がナルシシスト数であるかどうかは何進数で考えるかによります。

十進数のナルシシスト数一覧

0 もナルシシスト数と考えましょう。
1桁の数はすべてナルシシスト数です：
1,2,3,4,5,6,7,8,9,
3桁のナルシシスト数は4つあります：
153,370,371,407,
4桁～10桁のナルシシスト数は19個あります：
1634,8208,9474, 54748,92727,93084, 548834,1741725,4210818, 9800817,9926315,24678050, 24678051,88593477,146511208, 472335975,534494836, 912985153,4679307774
11桁以上のナルシシスト数もあります。ナルシシスト数は全部で $88$ 個あります。