ナルシシスト数について

ナルシシスト数(Narcissistic Number)というおもしろい名前の整数について紹介します。

ナルシシスト数とは

nn 桁の正の整数 NN について,各桁の nn 乗の和がもとの数に等しいとき,NN をナルシシスト数と言います。

例えば,371=33+73+13371=3^3+7^3+1^3 なので 371371 はナルシシスト数です。

1634=14+64+34+441634=1^4+6^4+3^4+4^4 なので 16341634 はナルシシスト数です。

ナルシシスト数は有限個

定理

ナルシシスト数は有限個しかない

証明はちょうどよい練習問題レベルです。

証明

nn 桁の数 NN について考える。

NN の各桁の nn 乗の和は,最大で 9n+9n++9n=n×9n9^n+9^n+\cdots +9^n=n\times 9^n

また,NNnn 桁なので N10n1N\geqq 10^{n-1}

よって,NN がナルシシスト数なら

10n1n9n10^{n-1}\leqq n9^n が必要。

変形すると,(109)n19n\left(\dfrac{10}{9}\right)^{n-1}\leqq 9n

これは nn が十分大きいとき不成立(指数関数は一次関数より強い→指数関数の極限と爆発性)。

実際,n61n\geqq 61 だと上の不等式を満たさない(※)ので,ナルシシスト数は 6060 桁以下であるので有限個。

以下,※を帰納法で証明する。n=61n=61 のとき,計算すると (109)n1>9n\left(\dfrac{10}{9}\right)^{n-1}> 9n である。n=k(61)n=k\:(\geqq 61) のとき (109)k1>9k\left(\dfrac{10}{9}\right)^{k-1}> 9k と仮定すると, (109)k>109×9k=9(k+1)+k9>9(k+1)\left(\dfrac{10}{9}\right)^{k}>\dfrac{10}{9}\times 9k=9(k+1)+k-9>9(k+1) となり n=k+1n=k+1 のときも成立。

注:実際 n61n\geqq 61 だと上の不等式は破れます。

十進数以外のナルシシスト数

十進数以外のナルシシスト数も考えることができます。

例えば五進数で 2323 という数字(十進数で 1313 に対応)はナルシシスト数です。実際,22+32=4+14=232^2+3^2=4+14=23 (計算は全て五進数でやっていることに注意)となっています。

正の整数 NN がナルシシスト数であるかどうかは何進数で考えるかによります。

十進数のナルシシスト数一覧

  • 0 もナルシシスト数と考えましょう。

  • 1桁の数はすべてナルシシスト数です:
    1,2,3,4,5,6,7,8,9,

  • 3桁のナルシシスト数は4つあります:
    153,370,371,407,

  • 4桁~10桁のナルシシスト数は19個あります:
    1634,8208,9474, 54748,92727,93084, 548834,1741725,4210818, 9800817,9926315,24678050, 24678051,88593477,146511208, 472335975,534494836, 912985153,4679307774

  • 11桁以上のナルシシスト数もあります。ナルシシスト数は全部で 8888 個あります。

全部書こうと思ったのですが,長いので十桁以下のもののみ書きました。全て知りたい人は以下のソースをご覧ください。
ソース:Wolfram MathWorld

名前がおもしろいです。口に出して言いたい数学用語ランキングがあったら多分上位です。