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ナルシシスト数について

更新日時 2021/03/07

ナルシシスト数(Narcissistic Number)の意味,有限個しかないことの証明などを解説します。

目次
  • ナルシシスト数とは

  • ナルシシスト数は有限個

  • 十進数以外のナルシシスト数

  • 十進数のナルシシスト数一覧

ナルシシスト数とは

nn 桁の正の整数 NN について,各桁の nn 乗の和がもとの数に等しいとき,NN をナルシシスト数と言います。

例えば,371=33+73+13371=3^3+7^3+1^3 なので 371371 はナルシシスト数です。

1634=14+64+34+441634=1^4+6^4+3^4+4^4 なので 16341634 はナルシシスト数です。

ナルシシスト数は有限個

ナルシシスト数は有限個しかない

証明はちょうどよい練習問題レベルです。

証明

nn 桁の数 NN について考える。

NN の各桁の nn 乗の和は,最大で 9n+9n++9n=n9n9^n+9^n+\cdots +9^n=n9^n

また,NNnn 桁なので N10n1N\geq 10^{n-1}

よって,NN がナルシシスト数なら

10n1n9n10^{n-1}\leq n9^n が必要。

変形すると,(109)n19n\left(\dfrac{10}{9}\right)^{n-1}\leq 9n

これは nn が十分大きいとき不成立(指数関数は一次関数より強い→指数関数の極限と爆発性)。

注:実際 n61n\geq 61 だと上の不等式は破れます。

十進数以外のナルシシスト数

十進数以外のナルシシスト数も考えることができます。

例えば五進数で 2323 という数字(十進数で 1313 に対応)はナルシシスト数です。実際,22+32=4+14=232^2+3^2=4+14=23 (計算は全て五進数でやっていることに注意)となっています。

正の整数 NN がナルシシスト数であるかどうかは何進数で考えるかによります。

十進数のナルシシスト数一覧

00 もナルシシスト数とみなせば)全部で 8888 個あります。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

153,370,371,407,

1634,8208,9474,

54748,92727,93084,

548834,1741725,4210818,

9800817,9926315,24678050,

24678051,88593477,146511208,

472335975,534494836,

912985153,4679307774

全部書こうと思ったのですが,長いので十桁以下のもののみ書きました。全て知りたい人は以下のソースをご覧ください。

ソース:Wolfram MathWorld

(今回の記事は上記リンク先を参考にしました)

名前が面白いです。口に出して言いたい数学用語ランキングがあったら多分上位です。

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