ナルシシスト数について
ナルシシスト数(Narcissistic Number)の意味,有限個しかないことの証明などを解説します。
ナルシシスト数とは
ナルシシスト数は有限個
十進数以外のナルシシスト数
十進数のナルシシスト数一覧
ナルシシスト数とは
桁の正の整数 について,各桁の 乗の和がもとの数に等しいとき, をナルシシスト数と言います。
例えば, なので はナルシシスト数です。
なので はナルシシスト数です。
ナルシシスト数は有限個
ナルシシスト数は有限個しかない
証明はちょうどよい練習問題レベルです。
桁の数 について考える。
の各桁の 乗の和は,最大で
また, は 桁なので
よって, がナルシシスト数なら
が必要。
変形すると,
これは が十分大きいとき不成立(指数関数は一次関数より強い→指数関数の極限と爆発性)。
注:実際 だと上の不等式は破れます。
十進数以外のナルシシスト数
十進数以外のナルシシスト数も考えることができます。
例えば五進数で という数字(十進数で に対応)はナルシシスト数です。実際, (計算は全て五進数でやっていることに注意)となっています。
正の整数 がナルシシスト数であるかどうかは何進数で考えるかによります。
十進数のナルシシスト数一覧
( もナルシシスト数とみなせば)全部で 個あります。
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
153,370,371,407,
1634,8208,9474,
54748,92727,93084,
548834,1741725,4210818,
9800817,9926315,24678050,
24678051,88593477,146511208,
472335975,534494836,
912985153,4679307774
全部書こうと思ったのですが,長いので十桁以下のもののみ書きました。全て知りたい人は以下のソースをご覧ください。
(今回の記事は上記リンク先を参考にしました)
名前が面白いです。口に出して言いたい数学用語ランキングがあったら多分上位です。