三角数とは，三角数定理，平方数との関係

$n$ を3つの三角数の和で表すことを考える。

定理1より $$8n+3=a^2+b^2+c^2$$ となる非負の整数 $a,b,c$ が存在する。

平方数を $8$ で割った余りは $0,1,4$ のいずれかなので，$a,b,c$ はいずれも $8$ で割って $1$ 余る数である。よって，$a,b,c$ はいずれも奇数となり， $$a=2A+1,b=2B+1,c=2C+1$$ とおける（$A,B,C$ は非負整数）。

このとき， $$8n+3=(2A+1)^2+(2B+1)^2+(2C+1)^2$$ 整理する： $$8n=4A^2+4A+4B^2+4B+4C^2+4C$$ $$n=\dfrac{A(A+1)}{2}+\dfrac{B(B+1)}{2}+\dfrac{C(C+1)}{2}$$ つまり，$n$ は三つの三角数の和で表せた！

$N$ が三角数かつ平方数のとき， $$N=\dfrac{n(n+1)}{2}=m^2$$ となる正の整数 $m,n$ が存在する。

二次の不定方程式は適切に変換することでペル方程式になることが多い。今回も， $$n^2+n=2m^2\\\to \left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=2m^2\\ \to (2n+1)^2-1=8m^2\\\to l^2-8m^2=1$$

ただし，$l=2n+1$ とおいた。

このペル方程式の特殊解は $l=3,m=1$ であるので，一般解は $$l_k+m_k\sqrt{8}=(3+\sqrt{8})^k$$ である。$m_k$ を明示的に求める（→補足）と， $$m_k=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\{(3+\sqrt{8})^k-(3-\sqrt{8})^k\}$$ よって，三角数かつ平方数であるものは， $$m_k^2=\dfrac{1}{32}\{(3+2\sqrt{2})^k-(3-2\sqrt{2})^k\}^2$$