群数列の問題と解き方のコツ

今回の群の法則は第 $n$ 群に $n$ 個の項が含まれるというもの。

$n-1$ 群までに含まれる項数は $$\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{1}{2} n(n-1)\quad(2\leqq n)$$ であり，もとの数列は公差 $1$ の等差数列であるので，第 $n$ 群の初項は， $$1 +\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{1}{2} n(n-1) +1\quad(2\leqq n)$$ $n=1$ の時もこの式を満たすので，

$$\dfrac{1}{2} n(n-1) + 1$$ が解となる。

第 $n$ 群に含まれる項の数は $n$ 個であると(1)を解く過程で求めた。

また，第 $n$ 群の末項はもとの数列の $$\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{1}{2} n(n+1)\text{番目}$$ なので，第 $n$ 群の末項は $$\dfrac{1}{2} n(n+1)$$ となる。

初項と末項を求め，項数も求めたのでこの群の総和を求めることができる。

等差数列の公式を用いると， $$\dfrac{1}{2} n\left\{\dfrac{1}{2} n(n-1) + 1 + \dfrac{1}{2} n(n+1)\right\} = \dfrac{1}{2} n^3 +\dfrac{1}{2} n$$ であるとわかる。

まず， $100$ が第何群に入っているのか求める必要がある。

$100$ が第 $n$ 群に入っているとした場合， $$(\text{n群の初項})\leqq 100\lt (\text{n+1群の初項})$$ となり，(1)から $n$ 群の初項はわかるので，この不等式を満たす $n$ は $14$ であるとわかる。

ここで $100$ は第 $14$ 群に含まれることがわかり，第 $14$ 群の初項は(1)より $92$ であるとわかるので， $100$ は第 $14$ 群の $9$ 番目の項であるとわかる。

今回の群の法則は第 $n$ 群に $2n-1$ 個の項が含まれるというものになっている。

第 $n$ 群の初項を求める。$n-1$ 群までに含まれる項数は $$\sum_{k=1}^{n-1} 2k-1 = (n-1)^2\quad(2\leqq n)$$ であり，もとの数列は公差 $2$ の等差数列であるので，第 $n$ 群の初項は， $$1 +2\sum_{k=1}^{n-1} 2k-1 = 2(n-1)^2 +1\quad(2\leqq n)$$ $n=1$ の時もこの式を満たすので，

$$2(n-1)^2 + 1$$ が初項となる。

$111$ が第 $n$ 群に入っているとした場合， $$(\text{n群の初項})\leqq 111\lt (\text{n+1群の初項})$$ となり，(1)から $n$ 群の初項はわかるので，この不等式を満たす $n$ は $8$ であるとわかる。

ここで $111$ は第 $8$ 群に含まれることがわかり，第 $8$ 群の初項は $99$ であるとわかるので， $111$ は第 $8$ 群の $7$ 番目の項であるとわかる。