群数列の問題と解き方のコツ

（まずはコツ1）第 $k$ 群には $k$ 個の項が含まれることがわかる。

（次にコツ2）よって，$n-1$ 群までに含まれる項数は $$\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{1}{2} n(n-1)$$ よって「第 $n$ 群の先頭」は $$N=\dfrac{1}{2} n(n-1) +1$$ 番目の項である。つまり「第 $n$ 群の先頭」は $2N=n(n-1) +2$

第 $k$ 群には $k$ 個の項が含まれる。

よって，第 $n$ 群の末項はもとの数列の $$\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{1}{2} n(n+1)\text{番目}$$ なので，第 $n$ 群の末項は $n(n+1)$ である。

もとの数列は等差数列であり，第 $n$ 群の初項・末項・項数がわかったので和を計算できる。

等差数列の公式：(初項＋末項)×項数÷2 を用いると，

$\{n(n-1)+2+n(n+1)\}\times n\times\dfrac{1}{2}\\ =n^3+n$

まず， $200$ が第何群に入っているのか求める。

$200$ が第 $n$ 群に入っている条件は， $$(\text{n群の初項})\leqq 200\lt (\text{n+1群の初項})$$ となる。つまり，(1)の結果を使うと

$n(n-1)+2\leqq 200\lt n(n+1)+2$

この不等式を満たす $n$ は $14$ である。

つまり $200$ は第 $14$ 群に含まれる。また，第 $14$ 群の初項は(1)より $184$ なので， $200$ は第 $14$ 群の $9$ 番目の項である。

(コツ1)第 $k$ 群には $2k-1$ 個の項が含まれる。

(コツ2)第 $n$ 群の初項を求める。$n-1$ 群までに含まれる項数は $$\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1) = (n-1)^2$$ であり，第 $n$ 群の初項は $N=(n-1)^2+1$ 番目である。また，もとの数列は初項 $1$ で公差 $2$ の等差数列なので，$N$ 番目の数は $2N-1$ である。

よって，第 $n$ 群の初項は， $$2(n-1)^2 + 1$$ $111$ が第 $n$ 群に入っている条件は， $$(\text{n群の初項})\leqq 111\lt (\text{n+1群の初項})$$ となり，(1)から $n$ 群の初項はわかるので，この不等式を満たす $n$ は $8$ である。

つまり $111$ は第 $8$ 群に含まれる。また，第 $8$ 群の初項は $2\times 7^2+1=99$ なので，$111$ は第 $8$ 群の $7$ 番目の項である。