入試数学コンテスト第6回第4問解答解説

$\angle \mathrm{O} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} = 90^{\circ}$ より $\arg \dfrac{z_2 - z_1}{z_1} = \dfrac{\pi}{2}$ である。よって実数 $k$ を用いて $$\dfrac{z_2 - z_1}{z_1} = ki$$ と表される。変形して $$\begin{aligned} z_2 &= (1+ik) z_1\\ &= (1+ik)(1+i)\\ &=1-k+(k+1)i \end{aligned}$$ を得る。これを $|z-2| = \sqrt{2}$ に代入すると $|-(k+1) +(k+1)i| = \sqrt{2}$ となる。 $|-(k+1)+(k+1)i| = |k+1|\cdot|-1+i| = \sqrt{2} |k+1|$ である。

ゆえに $k+1 = \pm 1$ である。$k+1=1$ のときは $k=0$ で $z_2=z_1$ であるため不適である。したがって $k=-2$ である。

こうして $z_2 = 3-i$ が得られる。

円 $C$ の中心を $\mathrm{C}$ とおく。$\mathrm{C} (2)$ である。 $$\begin{aligned} \arg \dfrac{2 - (1+i)}{1+i}& = \arg \dfrac{1-i}{1+i}\\ &= \arg \dfrac{-2i}{2}\\ &= \arg (-i) \end{aligned}$$ より $\angle \mathrm{OP_1C} = 90^{\circ}$ である。条件より $\mathrm{OP_1P_2} = 90^{\circ}$ であった。こうして $\mathrm{P_1}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{P_2}$ は同一直線状にあることがわかる。

$\mathrm{P_1}$，$\mathrm{P_2}$ は円周上の点である一方で $\mathrm{C}$ は円の中心である。よって $2 - z_1 = z_2 - 2$ である。こうして $z_2 = 4 - z_1 = 3-i$ である。

円 $C$ の中心を $\mathrm{C}$ とおく。$\mathrm{C} (2)$ である。 $$\begin{aligned} \arg \dfrac{2 - (1+i)}{1+i}& = \arg \dfrac{1-i}{1+i}\\ &= \arg \dfrac{-2i}{2}\\ &= \arg (-i) \end{aligned}$$ より $\angle \mathrm{OP_1C} = 90^{\circ}$ である。すなわち $\mathrm{P_1C}$ と $\mathrm{OP_1}$ は直交する。$\mathrm{C}$ は円の中心であったため，$\mathrm{OP_1}$ は円 $C$ の接線であることが従う。

方べきの定理 より $$\begin{aligned} \mathrm{OP}_n \cdot \mathrm{OQ}_n &= \mathrm{OP}_1 \cdot \mathrm{OP}_1\\ &= |1+i|^2 = 2 \end{aligned}$$ が得られる。

$\mathrm{Q}_n$ を表す複素数を $w_n$ とおく。

$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$ は同一直線状にあるため，実数 $l_n$ を用いて $w_n = l_n z_n$ と表される。

(2) より $|z_n| \cdot |w_n| = 2$ である。こうして $l_n |z_n|^2 = 2$ となり $$w_n = \dfrac{2z_n}{|z_n|^2}$$ が得られる。

$\angle \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} = 90^{\circ}$ であり，3点は同一円周上にある。円周角の定理より $\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$ は $C$ の直径である。

こうして $w_n$ と $z_{n+1}$ の中点は $\mathrm{C}$ すなわち $2$ である。よって $\dfrac{z_{n+1} + w_n}{2} = 2$ である。式を変形することで $$\begin{aligned} z_{n+1} &= 4-w_n\\ &= 4 - \dfrac{2 z_n}{|z_n|^2} \end{aligned}$$ が得られる。

$\angle \mathrm{O} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} = 90^{\circ}$ という条件から $\arg \dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n}} = \dfrac{\pi}{2}$ である。これより実数 $k_{n}$ を用いて $$\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_n} = k_n i$$ と表すことができる。$z_{n+1}$ について解くことで $$z_{n+1} = (1+k_n i)z_n$$ が得られる。

$\mathrm{P}_{n+1}$ は円 $C$ 上の点であるため $$|z_{n+1} - 2| = \sqrt{2}$$ となる。$z_{n+1} = (1+k_n i)z_n$ を代入することで $$|(1+k_n i)z_n - 2| = \sqrt{2}$$ が得られる。 $$\begin{aligned} &|(1+k_n i)z_n - 2|^2\\ &= \{(1+k_n i)z_n - 2\} \overline{\{(1+k_n i)z_n - 2\}}\\ &= |1+k_n i|^2 |z_n|^2 -2 (1+k_n i)z_n -2 (1-k_n i)\overline{z_n} +4\\ &= |z_n|^2 +k_n^2 |z_n|^2 -2z_n -2\overline{z_n} + 4 -2k_n (z_n - \overline{z_n})i\\ &= (|z_n|^2 -2z_n -2\overline{z_n} + 4) +k_n^2 |z_n|^2 -2k_n (z_n - \overline{z_n})i\\ &= |z_n - 2|^2 +k_n^2 |z_n|^2 -2k_n (z_n - \overline{z_n})i\\ &= k_n^2 |z_n|^2 -2k_n (z_n - \overline{z_n})i + 2 \end{aligned}$$

これにより $$|(1+k_n i)z_n - 2|^2 = \sqrt{2}^2 =2\\ k_n^2 |z_n|^2 -2k_n (z_n - \overline{z_n})i + 2 = 2\\ k_n^2 |z_n|^2 -2k_n (z_n - \overline{z_n})i =0$$ が得られる。こうして $$k_n = 0, \dfrac{2(z_n - \overline{z_n})}{|z_n|^2} i$$ となる。実際 $z_n - \overline{z_n}$ は$z_n$ は純虚数であるため，$(z_n - \overline{z_n})i$ は実数となる。ゆえにこの2解は共に実数となる。

$k_n = 0$ は $z_{n+1} = z_n$ を意味するため不適である。こうして $k_n = \dfrac{2(z_n - \overline{z_n})}{|z_n|^2} i$ であることが従う。

$z_{n+1} = (1+k_n i)z_n$ に代入すると $$\begin{aligned} z_{n+1} &= (1+k_n i)z_n\\ &= \left( 1-\dfrac{2(z_n - \overline{z_n})}{|z_n|^2} \right) z_n\\ &= z_n - \dfrac{2(z_n^2 - |z_n|^2)}{|z_n|^2}\\ &= z_n +2 - \dfrac{2 z_n^2}{|z_n|^2} \end{aligned}$$ が得られる。

$z_n$ は実数 $x_n,y_n$ により $z_n = x_n + i y_n$ と表される。 $$\begin{aligned} x_{n+1} + i y_{n+1} &= z_{n+1}\\ &= 4- \dfrac{2}{|z_n|^2} z_n\\ &= 4- \dfrac{2(x_n+iy_n)}{x_n^2+y_n^2}\\ &= 4-\dfrac{2x_n}{x_n^2+y_n^2} - i \dfrac{2y_n}{x_n^2+y_n^2} \end{aligned}$$ であるため， $$\begin{aligned}\begin{cases} x_{n+1} = 4 - \dfrac{2x_n}{x_n^2+y_n^2}\\ y_{n+1} = - \dfrac{2y_n}{x_n^2+y_n^2} \end{cases}\end{aligned}$$ となる。

数学的帰納法により $n \geqq 2$ で $|z_n| >3$ を示す。

$n=2$ のとき $|z_2|= |1+3i|=\sqrt{10}>3$ である。

$n=m$ のときの成立を仮定する。$|\overline{z_m}|>3$ より $\left| \dfrac{2}{\overline{z_m}} \right| <\dfrac{2}{3} < 1$ である。よって $$\begin{aligned} \left| z_{m+1} + \dfrac{2}{\overline{z_m}} \right| &\leqq |z_{m+1}| + \left| \dfrac{2}{\overline{z_m}} \right|\\ &< |z_{m+1}| + 1 \end{aligned}$$ であるため，$|z_{m+1}|+1>4$ であり，$|z_{m+1}|>3$ である。こうして示された。これより $x_n^2+y_n^2 = |z_n|^2 >9$ である。

$$\begin{aligned} |y_{n+1}| &= \left| \dfrac{2}{|z_n|} y_n \right|\\ &= \dfrac{2}{|z_n|} |y_{n}|\\ &< \dfrac{2}{3} |y_n|\\ \end{aligned}$$ であることから，$0 < |y_n| < \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$ が得られる。$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{2}{3} \right)^n = 0$ とはさみうちの原理より $\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n = 0$ である。

$|z_2 - 2| = \sqrt{2}$ であることから $(x_n - 2)^2 + y_n^2 = 2$ が成立する。

$n \geqq 2$ とすると， $$\begin{aligned} x_n &= 4 - \dfrac{2 x_{n-1}}{x_{n-1}^2 + y_{n-1}^2}\\ &\geqq 4 - \dfrac{2 (x_{n-1}^2 + y_{n-1}^2)}{x_{n-1}^2 + y_{n-1}^2} = 2 \end{aligned}$$ である。よって $n \geqq 2$ で $x_n = 2 + \sqrt{2 - y_n}$ である。

ゆえに $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} x_n &= \lim_{n \to \infty} (2 + \sqrt{2 - y_n})\\ &= 2 + \sqrt{2} \end{aligned}$$ が得られる。

$z_n$ は実数 $x_n,y_n$ により $z_n = x_n + i y_n$ と表される。 $$\begin{aligned} x_{n+1} + i y_{n+1} &= z_{n+1}\\ &= z_n +2 - \dfrac{z_n^2}{|z_n|^2}\\ &= x_n + i y_n + 2 - \dfrac{2(x_n^2 - y_n^2) + 4x_n y_n i}{x_n^2+y_n^2}\\ &= x_n + \dfrac{4y_n^2}{x_n^2+y_n^2} + i \left( y_n - \dfrac{4x_n y_n}{x_n^2+y_n^2} \right) \end{aligned}$$ であるため， $$\begin{aligned}\begin{cases} x_{n+1} = x_n + \dfrac{4y_n^2}{x_n^2+y_n^2}\\ y_{n+1} = y_n - \dfrac{4x_n y_n}{x_n^2+y_n^2} \end{cases}\end{aligned}$$ となる。

$$y_{n+1} = y_n \left( 1 - \dfrac{4x_n}{x_n^2+y_n^2} \right)$$

$n \geqq 2$ のとき，前の解答に述べたとおり $$2 \leqq x_n \leqq 2 + \sqrt{2}\\ 9 \leqq x_n^2 + y_n^2 \leqq (2 + \sqrt{2})^2$$ である。ゆえに $$1 - 4 \cdot \dfrac{2 + \sqrt{2}}{9} \leqq 1 - \dfrac{4x_n}{x_n^2+y_n^2} \leqq 1 - 4 \cdot \dfrac{2}{(2 + \sqrt{2})^2}$$ である。 ここで $$\begin{aligned} 1 - 4 \cdot \dfrac{2}{(2 + \sqrt{2})^2} &= 1 - 2 (6-4\sqrt{2})\\ &= 8\sqrt{2} - 11\\ 1 - 4 \cdot \dfrac{2 + \sqrt{2}}{9} &= \dfrac{1}{9} - \dfrac{4}{9} \sqrt{2}\\ &> \dfrac{1}{9} - \dfrac{8}{9} \end{aligned}$$ となる。 また $$\begin{aligned} 34 \sqrt{2} &< 34 \cdot 1.42\\ &= 48.28\\ &< 49\\ 68 \sqrt{2} &< 98\\ 72 \sqrt{2} - 99 &< 4 \sqrt{2} - 1\\ 8\sqrt{2} - 11 &< \dfrac{4}{9} \sqrt{2} - \dfrac{1}{9}\\ |8\sqrt{2} - 11| &< \left|\dfrac{1}{9} - \dfrac{4}{9} \sqrt{2}\right| < \dfrac{7}{9} \end{aligned}$$ より $$0 < \left| 1 - \dfrac{4x_n}{x_n^2+y_n^2} \right| < \dfrac{7}{9}$$ である。

こうして $$\begin{aligned} |y_{n+1}| &= \left| 1 - \dfrac{4x_n}{x_n^2+y_n^2} \right| |y_n|\\ &< \dfrac{7}{9}|y_n| \end{aligned}$$ となり $$0 < |y_n| < \left( \dfrac{7}{9} \right)^{n-1}$$ が従う。 $$\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{7}{9} \right)^{n-1} = 0$$ とはさみうちの原理より $\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n = 0$ が従う。

前の解答同様に $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} x_n &= \lim_{n \to \infty} (2 + \sqrt{2 - y_n})\\ &= 2 + \sqrt{2} \end{aligned}$$ が得られる。

$$\begin{aligned} |z_{n+1} - (2+\sqrt{2})| &= \left| 2-\sqrt{2} - \dfrac{2}{\overline{z_n}} \right|\\ &= \left| \dfrac{(2-\sqrt{2}) \overline{z_n} - 2}{\overline{z_n}} \right|\\ &= \left| \dfrac{(2-\sqrt{2})}{\overline{z_n}} \{\overline{z_n} - (2+\sqrt{2})\} \right|\\ &= \left| \dfrac{(2-\sqrt{2})}{\overline{z_n}} \right| |z_n - (2+\sqrt{2})|\\ &< \dfrac{2-\sqrt{2}}{3} |z_n - (2+\sqrt{2})| \end{aligned}$$ である。こうして $$0 < |z_n - (2+\sqrt{2})| < \left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{3} \right)^{n-1}$$ である。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{3} \right)^{n-1} = 0$ と，はさみうちの原理から $\displaystyle \lim_{n \to \infty} |z_n - (2+\sqrt{2})| =0$ が得られる。よって $\displaystyle\lim_{n \to \infty} z_n = 2+\sqrt{2}$ である。

ゆえに $$\lim_{n \to \infty} x_n = 2+\sqrt{2}\\ \lim_{n \to \infty} y_n = 0$$ となる。