【解答・解説】東大理系数学2025 第6問

$C$ の元を極形式で表す： $$z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\quad \left( r > 0, -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right)$$

$C$ は $\left| z - \dfrac{1}{2} \right| = \dfrac{1}{2}$ と表されるため，これに代入をすると $$\left| r\cos \theta - \dfrac{1}{2} + ir\sin \theta \right| = \dfrac{1}{2}$$ より $$\left( r\cos \theta - \dfrac{1}{2} \right)^2 + r^2 \sin^2 \theta = \dfrac{1}{4}$$ これを展開して整理すると $$r^2 - r \cos \theta = 0$$ であるため，$r = \cos \theta$ である。

よって $C$ の元は $z = \cos \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$ と表されるため，ド・モアブルの公式より $$\begin{aligned} \dfrac{1}{z} &= \dfrac{1}{\cos \theta} (\cos \theta - i \sin \theta)\\ &= 1 - i\tan \theta \end{aligned}$$ である。よって $\dfrac{1}{z}$ の実部は $1$ である。

なお，$-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ であるため，虚部は任意の実数を取る。

$C$ の元は $z = \dfrac{1}{2} \cos \theta + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} i \sin \theta$（$-\pi < \theta < \pi$）と表すことができる。

よって $$\begin{aligned} \dfrac{1}{z} &= \dfrac{2}{1+\cos \theta + i \sin \theta}\\ &= \dfrac{2(1+\cos \theta- i \sin \theta)}{(1+\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta}\\ &= \dfrac{2(1+\cos \theta - i \sin \theta)}{2+2\cos \theta}\\ &= 1 - \dfrac{\sin \theta}{1+\cos \theta} i \end{aligned}$$ より $\dfrac{1}{z}$ の実部は $1$ である。

$z$ が満たす式は $\left| z-\dfrac{1}{2} \right| = \dfrac{1}{2}$ である。

辺々を2乗して整理すると $$z \bar{z} - \dfrac{1}{2}z - \dfrac{1}{2} \bar{z} = 0$$ となる。$z \neq 0$ であるため，辺々を $z\bar{z}$ で割って整理すると， $$\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{z} + \overline{\dfrac{1}{z}} \right) = 1$$ であるため，$\dfrac{1}{z}$ の実部は $1$ である。

複素数平面上で $\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2}$ のとりうる範囲を $D$ とおく。

(1) より $\dfrac{1}{\alpha} = 1 + ai$，$\dfrac{1}{\beta} = 1 + bi$ と表される。また，$\alpha,\beta$ は異なるため，それぞれの偏角もまた異なる。ゆえに $\dfrac{1}{\alpha} , \dfrac{1}{\beta}$ は異なる。したがって $a \neq b$ である。

よって $$\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} = (2-a^2-b^2) + 2(a+b)i$$ と表される。

$x+yi \in D$（$x,y$ は実数）を取ると，異なる2実数 $a,b$ が存在し $$\begin{cases} x = 2-a^2-b^2\\ y = 2(a+b) \end{cases}$$ を満たす。

ここで $a+b = p,ab=q$ とすると，二次方程式 $$t^2 -pt + q = 0$$ は相異なる2実数を解に持つ。判別式は $p^2 - 4q$ であるため，実数 $,q$ は $p^2 - 4q > 0$ を満たす。

$x,y$ を $p,q$ で表すと $$\begin{aligned} x &= 2-(a^2+b^2)\\ &= 2 - (a+b)^2 + 2ab\\ &= 2-p^2+2q\\ y &= 2(a+b)\\ &= 2p \end{aligned}$$ となる。

よって，$x,y$ は次の条件を満たす。

• ある実数 $p,q$ があって， $$\begin{cases} p^2-4q > 0\\ x = 2-p^2+2q\\ y = 2p \end{cases}$$ を満たす。

$p^2-4q$ に，順に $q = \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{2} p^2 - 1$，$p = \dfrac{1}{2}y$ を代入することで $$\begin{aligned} p^2-4q &= p^2 - 2x - 2p^2 + 4\\ &= - \dfrac{1}{4} y^2 - 2x + 4 \end{aligned}$$ を得る。

よって，$x,y$ が満たす条件は $- \dfrac{1}{4}y^2-2x+4 > 0$ となる。整理して $x < 2 - \dfrac{1}{8} y^2$ となる。

よって，下図斜線部（境界は含まない）

(2) の境界 $x = 2-\dfrac{y^2}{8}$ は，原点を焦点，$x=4$ を準線とする放物線であるため，極形式で表すと $$r = \dfrac{4}{1+\cos \theta}$$ となる。参考：二次曲線（楕円，放物線，双曲線）の極座標表示

$\gamma = R(\cos \theta+ i \sin \theta)$（$R>0$，$-\pi < \theta < \pi$）と表す。

$$\dfrac{1}{\gamma} = \dfrac{1}{R} (\cos\theta - \sin \theta)$$ である。

$\gamma$ は $D$ に属さないため $R \geqq \dfrac{4}{1+\cos \theta}$ である。

$\cos \theta \geqq 0$ の場合 $$\mathrm{Re} \left( \dfrac{1}{\gamma} \right) = \dfrac{1}{R} \cos \theta \leqq \dfrac{1}{4} \cos \theta (1+\cos \theta)$$ （等号成立は $\gamma$ が境界線上にあるとき）を得る。

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{4} \cos \theta (1+\cos \theta) &= \dfrac{1}{4} \left( \cos \theta + \dfrac{1}{2} \right)^2-\dfrac{1}{16} \end{aligned}$$ であるが，今 $\cos \theta \geqq 0$ の場合を考えているため，$\dfrac{1}{\gamma}$ の実部は $\cos \theta = 1$ のとき最大値 $\dfrac{1}{2}$ を取る。

$\cos \theta < 0$ の場合 $$\mathrm{Re} \left( \dfrac{1}{\gamma} \right) = \dfrac{1}{R} \cos \theta > \dfrac{1}{4} \cos \theta (1+\cos \theta)$$ （等号成立は $\gamma$ が境界線上にあるとき）を得る。

$\cos\theta < 0$ より $\dfrac{1}{\gamma}$ の実部は $\cos \theta = -\dfrac{1}{2}$ のとき最小値 $-\dfrac{1}{16}$ を得る。

$\quad$

以上まとめて，$\dfrac{1}{\gamma}$ の実部の最大値は $\dfrac{1}{2}$，最小値は $-\dfrac{1}{16}$ となる。

(1) と同様に考えると，実数 $t$ について $|z-t| = |t|$ 上を動く$0$ ではない複素数 $z$ に対して，$\dfrac{1}{z}$ の実部は $\dfrac{1}{2t}$ である。

よって $|z-t|=|t|$ が $D$ の補集合と交わる $t$ の範囲を求めればよい。

$\quad$

以下，$z = x+yi$ と表して $xy$ 平面上で考える。

$|z-t| = |t|$ は $$(x-t)^2+y^2=t^2$$ と表される。$y$ について整理すると $$y^2 = 2tx-x^2$$ となる。

$(x,y)$ が $y^2 = 2tx-x^2$ を満たし，さらに $D$ の補集合と交わる場合，

• ある実数 $x,y$ が存在し， $$\begin{cases} x \geqq 2-\dfrac{1}{8} y^2 &\cdots (a)\\ y^2 = 2tx - x^2 & \cdots (b) \end{cases}$$ を満たす。

$(a)$ に $(b)$ を代入することで $$x \geqq 2 - \dfrac{1}{4} tx + \dfrac{1}{8} x^2$$ 整理して $$x^2 - 2(t+4) x + 16 \leqq 0$$ を得る。

また，$(b)$ を満たす実数 $y$ が存在するときは $2tx-x^2 \geqq 0$ であるときに限る。

以上より次の条件を考えればよい。

• ある実数 $x$ が存在し， $$\begin{cases} x^2 - 2(t+4)x+16 \leqq 0 &\cdots (a')\\ 2tx-x^2 \geqq 0 &\cdots (b') \end{cases}$$ を満たす。

$(a')$ を変形すると $$\{ x-(t+4) \}^2 -(t^2+8t) = 0$$ であるため，軸は $x = t+4$ である。また，$(a')$ が実数解を持つのは $t^2+8t \leqq 0$ の場合である。これを解くと $t \leqq -8,0 \leqq t$ を得る。

それぞれの場合に $(a')$ の解と $(b')$ の解が共通部分を持つかどうか確かめる。

以下 $f(x) = x^2 - 2(t+4)x+16$ とおく。

• $t \leqq -8$ のとき

$t < 0$ より $(b')$ を解くと $2t \leqq x \leqq 0$ となる。

不等式 $$2t < t+4 < 0$$ を解くと $$t < - 4, t < 4$$ である。これは $t \leqq -8$ に含まれる。

よって $2t \leqq x \leqq 0$ の範囲で $f(x)$ の最小値は $f(t+4) = -t^2-8t \leqq 0$ である。一方 $f(0) = 16 >0$ より $f(x) = 0$ は $2t \leqq x \leqq 0$ の範囲で解を持つ。

以上より $t \leqq -8$ の場合，条件を満たす実数 $x$ が存在する。

• $t \geqq 0$ の場合

このとき $(b')$ を解くと $0 \leqq x \leqq 2t$ である。

$0 < t+4 < 2t$ を満たすとき，$4 \leqq -8$ の場合と同様に $(a'),(b')$ 両方を見たす実数 $x$ が存在する。この不等式を解くと $t > -4, t >4$ であるため，$t > 4$ の場合，解が存在する。

$t < - 4$ のとき，$t+4 < 0$，$f(0) = 16 > 0$ であるため，$f(x)$ が $0 < x < 2t$ で解を持つには $f(2t) \leqq 0$ を満たす必要がある。 $$\begin{aligned} f(2t) &= 4t^2 - 4t^2- 16t + 16 \\ &= -16t+16 \end{aligned}$$ であるため $f(2t) \leqq 0$ を解くと $t \geqq 1$ である。

以上より $t \geqq 1$ の場合，条件を満たす実数 $x$ が存在する。

$\quad$

こうして $|z-t|=|t|$ が $D$ の補集合と交わる $t$ の範囲は $$t \leqq -8, 1\leqq t$$ である。$\dfrac{1}{\gamma}$ の実部の範囲は $\dfrac{1}{2t}$ のとりうる範囲であるため $$-\dfrac{1}{16} \leqq \dfrac{1}{2t} \leqq \dfrac{1}{2}$$ を得る。

ゆえに $\dfrac{1}{\gamma}$ の実部の最大値は $\dfrac{1}{2}$，最小値は $-\dfrac{1}{16}$ である。