飛び飛びになった二項係数の和

二項定理より $$\begin{aligned} (1+1)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100}\\ (1-1)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 - {}_{100} \mathrm{C}_1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \end{aligned}$$ であるため，辺々を足して2で割ることで $$\begin{aligned} {}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_2 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} &= \dfrac{2^{100}+0}{2}\\ & = 2^{99} \end{aligned}$$ となります。

二項係数の偶数番目の和と奇数番目の和は一致することも分かります。

次は $1$ の三乗根 $\omega$ を用います。→ 1の三乗根オメガを用いた計算と因数分解

二項定理より $$\begin{aligned} (1+1)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100}\\ (1+\omega)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 - {}_{100} \mathrm{C}_1 \omega^1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \omega^{100}\\ (1+\omega^2)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 - {}_{100} \mathrm{C}_1 \omega^2 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \omega^{200} \end{aligned}$$ であるため，辺々を足すと $$\begin{aligned} &(1+1)^{100} + (1+\omega)^{100} + (1+\omega^2)^{100}\\ &= ({}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_{3} + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{99}) \times 3\\ &\quad + ({}_{100} \mathrm{C}_1 + {}_{100} \mathrm{C}_{4} + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100}) \times (1 + \omega + \omega^2)\\ &\quad + ({}_{100} \mathrm{C}_2 + {}_{100} \mathrm{C}_{5} + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{98}) \times (1 + \omega + \omega^2)\\ &= ({}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_{3} + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{99}) \times 3 \end{aligned}$$ となります。

よって $$\begin{aligned} &{}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_{3} + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{99} \\ &= \dfrac{(1+1)^{100} + (1+\omega)^{100} + (1+\omega^2)^{100}}{3} \end{aligned}$$ となります。

$$\omega + 1 = \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2} = \cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{\pi}{3}\\ \omega^2 + 1 = \dfrac{1-\sqrt{3}i}{2} = \cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{5\pi}{3}$$ より $$\begin{aligned} &(1+1)^{100} + (1+\omega)^{100} + (1+\omega^2)^{100}\\ &= 2^{100} +\left( \cos \dfrac{100}{3} \pi + i \sin \dfrac{100}{3} \pi \right)\\ &\qquad \qquad +\left( \cos \dfrac{200}{3} \pi + i \sin \dfrac{200}{3} \pi \right)\\ &= 2^{100} + \left( \cos \dfrac{4}{3} \pi + i \sin \dfrac{4}{3} \pi \right)\\ &\qquad \qquad +\left( \cos \dfrac{2}{3} \pi + i \sin \dfrac{2}{3} \pi \right)\\ &= 2^{100}-1 \end{aligned}$$ であるため $${}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_{3} + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{99} = \dfrac{2^{100}-1}{3}$$ となります。

3の倍数のときを踏まえると，$1$ の4乗根を用いれば良さそうです。$1$ の4乗根といえば $i$ ですね。

二項定理より $$\begin{aligned} (1+1)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100}\\ (1+i)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_1 \times i^1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \times i^{100}\\ (1-1)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 - {}_{100} \mathrm{C}_1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100}\\ (1-i)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 - {}_{100} \mathrm{C}_1 \times i^1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \times i^{100}\\ \end{aligned}$$ であるため，辺々を足すと $$\begin{aligned} &(1+1)^{100} + (1+i)^{100} + (1-1)^{100} + (1-i)^{100}\\ &= ({}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_{4} + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100}) \times 4 \end{aligned}$$ となります。

$$\begin{aligned} (1+i)^{100} &= \left\{ \sqrt{2} \times \left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4} \right) \right\}^{100}\\ &= 2^{50} ( \cos 25 \pi + i \sin 25\pi )\\ &= -2^{50}\\ (1-i)^{100} &= \left\{ \sqrt{2} \times \left( \cos \dfrac{3}{4}\pi + i \sin \dfrac{3}{4}\pi \right) \right\}^{100}\\ &= 2^{50} ( \cos 75 \pi + i \sin 75\pi )\\ &= -2^{50} \end{aligned}$$ であるため $$\begin{aligned} &{}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_{4} + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \\ &= \dfrac{2^{100}-2^{50}-2^{50}}{4}\\ &= 2^{98} - 2^{49} \end{aligned}$$ となります。

以上を踏まえると次の計算もできます。

$${}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_2 \times 2^2 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \times 2^{100}$$

この場合は $$\begin{aligned} (1+2)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_1 \times 2^1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \times 2^{100}\\ (1-2)^{100} &= {}_{100} \mathrm{C}_0 - {}_{100} \mathrm{C}_1 \times 2^1 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \times 2^{100} \end{aligned}$$ より $${}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_2 \times 2^2 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100} \times 2^{100} = \dfrac{3^{100}+1}{2}$$ と計算できます。