q-二項係数とq-二項定理～東大数学2020年と合わせて

$$\begin{aligned} &q^k \binom{n-1}{k}_q + \binom{n-1}{k-1}_q \\ &= q^k \dfrac{[n-1]_q!}{[k]_q![n-k-1]_q!} + \dfrac{[n-1]_q!}{[k-1]_q![n-k]_q!} \\ &= \left(q^k [n-k]_q + [k]_q \right) \dfrac{[n-1]_q!}{[k]_q![n-k]_q!} \\ &= [n]_q \dfrac{[n-1]_q!}{[k]_q![n-k]_q!} \\ &=\binom{n}{k}_q \end{aligned}$$

$f(x)$ を $$\begin{aligned} f(a,x) &= \prod_{n=0}^{\infty} \dfrac{1-q^nax}{1-q^nx}\\ &= \dfrac{(1-ax)(1-qax) \cdots}{(1-x)(1-qx)\cdots} \end{aligned}$$ と定義する。これを $$f(a,x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$$ と展開する。この $c_n$ を計算しよう。

$f(0) = 1$ より $c_0=1$ である。

定義より $$f(a,x) = \dfrac{1-ax}{1-x} f(a,qx)$$ つまり $$(1-x) f(a,x) = (1-ax) f(a,qx)$$ が成り立つ。

$n \geqq 1$ で $$\begin{aligned} (1-x) f(a,x) &= \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x^n-x^{n+1})\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} (c_n-c_{n-1}) x^{n+1} \\ (1-ax) f(a,qx) &= \sum_{n=0}^{\infty} c_n (q^nx^n - aq^nx^{n+1})\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} (c_n q^n - ac_{n-1} q^{n-1})x^n \end{aligned}$$ となる。

係数比較をすることで $$\begin{aligned} c_n &= \dfrac{1-q^{n-1}a}{1-q^n} c_{n-1}\\ &= \cdots \\ &= \dfrac{(1-a)(1-qa) \cdots (1-q^{n-1}a)}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})} \end{aligned}$$ を得る。

$a = q^{-n}$，$x = - q^nx$ を代入すると $$\begin{aligned} &\dfrac{(1+x)(1+qx)(1+qx^2) \cdots}{(1+q^nx)(1+q^{n+1}x)(1+q^{n+2}) \cdots}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(1-q^{-n})(1-q^{-n+1}) \cdots (1-q^{-n+k-1})}{(1-q)(1-q^2) \cdots (1-q^k)} (-q^n x)^k \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(q^n-1) (q^{n-1}-1) \cdots (q^{n-k+1}-1)}{(1-q)(1-q^2) \cdots (1-q^k)} q^{-n-(n-1) - \cdots - (n-k+1)} (-1)^k q^{kn} x^k \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(1-q^n) (1-q^{n-1}) \cdots (1-q^{n-k+1})}{(1-q)(1-q^2) \cdots (1-q^k)} (-1)^k \times (-1)^k q^{1+2+\cdots +k-1} x^k\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(1-q^n) (1-q^{n-1}) \cdots (1-q^{n-k+1})}{(1-q)(1-q^2) \cdots (1-q^k)} q^{\frac{1}{2} k (k-1)} x^k\\ \end{aligned}$$ である。

左辺を約分すると $$(1+x)(1+qx) \cdots (1+q^{n-1} x)$$ である。

右辺を $q$-二項係数で書くと $$\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k}_q q^{\frac{k(k-1)}{2}}x^k$$ であるため，定理を得る。

定義より $$f_n (x) = (1+x)(1+2x) \cdots (1+2^n x)$$ となる。

(1)

$q$-二項定理より $$\begin{aligned} a_{n,2} &= \binom{n}{2}_2 2^{\frac{2(2-1)}{2}} \\ &= \dfrac{[n]_2 !}{[2]_2! [n-2]_2!} 2\\ &= \dfrac{[n]_2! [n-1]_2 !}{[2]_2! [1]_2 !}\\ &= \dfrac{\dfrac{1-2^n}{1-2} \times \dfrac{1-2^{n-1}}{1-2}}{\dfrac{1-2^2}{1-2} \times \dfrac{1-2^{1}}{1-2}} \times 2\\ &= \dfrac{1}{3} (2^{2n-1} - 2^n - 2^{n-1} + 1) \times 2\\ &= \dfrac{4^n}{3} - 2^n + \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ である。

(2)

$$\begin{aligned} \dfrac{f_{n+1} (x)}{f_n (x)} &= \dfrac{(1+x)(1+2x) \cdots (1+2^{n+1} x)}{(1+x)(1+2x) \cdots (1+2^n x)}\\ &= 1+2^{n+1} x\\ \dfrac{f_{n+1} (x)}{f_n (2x)} &= \dfrac{(1+x)(1+2x) \cdots (1+2^{n+1} x)}{(1+2x)(1+2^2x) \cdots (1+2^{n+1} x)}\\ &= 1+x \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} &\dfrac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}} \\ &= \dfrac{[n+1]_2 !}{[k+1]_2 ! [n-k]_2 !} \times \dfrac{[k]_2! [n-k]_2!}{[n]_2!}\times \dfrac{2^{\frac{1}{2} k(k+1)}}{2^{\frac{1}{2} k(k-1)}} \\ &= \dfrac{[n+1]_2}{[k+1]_2} \times 2^k\\ &= \dfrac{2^{n+1}-1}{2^{k+1}-1} \times 2^k \end{aligned}$$