超幾何級数の定義と例

超幾何級数とは，以下の式で定義される ${}_rF_{s}(z)$ のことです。

${}_rF_{s}(a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z)$

$=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a_1)_n\cdots (a_r)_n}{(b_1)_n\cdots (b_s)_n}\dfrac{z^n}{n!}$

定義式をもう少し詳しく説明すると，

• 超幾何級数は，$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ という形の無限級数
• ただし，係数 $c_n$ が複雑
• 係数の分子には $r$ 個，分母には $s$ 個の「ポッホハマー記号」が登場
• ポッホハマー記号 $(a)_n$ とは，$n$ 個の連続積を表す：
  $(a)_n=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)$
  ただし，$(a)_0=1$とする。

特に，$r=2,s=1$ の場合を超幾何級数と呼び，一般の ${}_rF_{s}$ のことを「一般化超幾何級数」と呼ぶこともあるようです。

実は，超幾何級数は，いろいろな身近な関数を含んでいます。例えばコサインは，超幾何級数を使って

$\cos z={}_0F_{1}\left(;\dfrac{1}{2};-\dfrac{z^2}{4}\right)$

と表すことができます。これを確認してみましょう。

超幾何級数に関連するおもしろい恒等式はたくさんあります。その中でも，今回は Pfaff-Saalschütz の和公式と呼ばれる恒等式を紹介します。

左辺は級数（実際には有限和になりますが）なのに，右辺は因数分解された分数式というのがおもしろいです。

$k=0$ の場合は左辺も右辺も $1$ になります。$k=1$ の場合についても確認してみましょう。

$k=1$ の場合の確認

まず，右辺は $\dfrac{(c-a)(c-b)}{c(c-a-b)}$ です。

左辺は，$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a)_n(b)_n(-1)_{n}}{(c)_n(1+a+b-c-1)_n}\dfrac{1}{n!}$

ですが，分子に $(-1)_n$ があるため，$n\geq 2$の項は消えます。

よって，左辺は $1-\dfrac{ab}{c(a+b-c)}$ となります。つまり，

$1-\dfrac{ab}{c(a+b-c)}=\dfrac{(c-a)(c-b)}{c(c-a-b)}$

という恒等式が得られます。

Pfaff-Saalschütz の和公式の証明は，私も知りません（帰納法を使って証明できるかも？）

参考文献：この定理が美しい（数学書房編集部）