対数方程式の例題と解き方

$\log_2 (x+1) = 2 + \log_2 x$

を解く。

1. 対数の真数は正である。$x+1$ と $x$ が全て正となるのは $x>0$ のときである。

2. 両辺を $\log_2□$ という形にする。与式の右辺は $2 + \log_2 x = \log_2 4 + \log_2 x= \log_2 4x$ となる。よって $$\log_2 (x+1) = \log_2 4x$$ を解けばよい。

3. 対数の底はどちらも2であるため，対数を外すと， $$x+1 = 4x$$ これを解くと，$x = \dfrac{1}{3}$ となる。

4. これは真数条件 $x > 0$ を満たす。

$\log_9 x = \log_3 (x-2)$

を解く。

1. 与式の真数は $x,x-2$ である。これらが全て正になるのは $x>2$ のときである。

2. 与式の左辺は $\log_9 x = \dfrac{\log_3 x}{\log_3 9} = \dfrac{1}{2} \log_3 x$ となる。よって， $$\dfrac{1}{2} \log_3 x = \log_3 (x-2)$$ を解けばよい。つまり， $$\log_3 x = \log_3 (x-2)^2$$ を解けばよい。

3. 対数を外すと， $$x = (x-2)^2\\ x = x^2-4x+4\\ x^2-5x+4=0$$ となり，$x=1,4$ が得られる。

4. 真数条件は $x>2$ であるため $x=1$ は不適である。よって $x=4$ が解である。

$(\log_2 x)^2 = \log_2 x^2$

を解く。

1. 真数は $x^2,x$ で，これらが正になるのはそれぞれ $x\neq 0,x>0$ のときである。よって条件は $x>0$ である。

2. 与式の右辺は $\log_2 x^2 = 2 \log_2 x$ である。よって解くべき方程式は $$(\log_2 x)^2 = 2 \log_2 x$$ である。式に登場する対数が $\log_2 x$ 一種類だけになった！

3. $t = \log_2 x$ とおくと $$t^2 = 2t$$ となる。$t$ の方程式を解くと $t=0,2$ である。

4. つまり $\log_2 x = 0,2$ が解の候補。それぞれ解くと $x = 1,4$ が得られる。

5. これらは真数条件を満たす。

$\log_x 2 = \log_2 x^2 +1$

を解く。

1. 真数条件から　$x^2 >0$，すなわち $x \neq 0$ である。また，対数の底は $1$ でない正の数なので，$x>0,x\neq 1$ である。

2. 左辺は $\log_x 2 = \dfrac{1}{\log_2 x}$ と変形できる。また右辺は $\log_2 x^2 +1 =2\log_2 x +1$ と変形できる。よって与式は $$\dfrac{1}{\log_2 x} = 2\log_2 x +1$$ となる。対数は $\log_2 x$ 一種類だけになった！

3. $t = \log_2 x$ とおく。与式を置換し，両辺に $t$ を掛けると $$1 = 2t^2 + t\\ 2t^2 + t -1=0$$ である。よって $t = \dfrac{1}{2} , -1$ となる。

4. $\log_2 x = \dfrac{1}{2} ,-1$ を解くと，$x = \sqrt{2} , \dfrac{1}{2}$ が得られる。

5. これらは最初に求めた条件 $x>0,x\neq 1$ を満たす。