指数方程式の解き方 | 高校数学の美しい物語

指数方程式とは

指数方程式とは，指数関数が含まれるような方程式のことをいいます。

指数方程式の例

$3^{x}=27$

を満たす $x$ を求めよ。

指数方程式の出題パターン

指数方程式の出題パターンには，以下のようなものがあります。

基本形
置換を利用して解く指数方程式
底が異なる指数方程式
指数方程式の連立方程式

様々な指数方程式の解法

「基本形」の指数方程式の解き方

さきほど紹介した $3^{x}=27$ は，指数方程式の「基本形」です。

解答

$\begin{aligned} 3^{x} &= 27\\ 3^{x}&=3^{3}\\ x&=3 \end{aligned}$

このように， $a^{x}=b$ と表される指数方程式は $a^{x}=a^{c}$ の形に変形して $x=c$ と解くことができます。底を共通にして解いています。

置換を利用して解く指数方程式

例

$2^{2x}-6\cdot 2^{x}+8=0$

解答

$2^{x}=t$ と置く（ $0<t$ ）

すると与式は $\begin{aligned} t^{2}-6t+8=0\\ (t-4)(t-2)=0\\\\ \therefore t=2,4 \end{aligned}$ つまり， $2^{x}=2,4$ 。したがって

$x=1,2$

このように，指数関数の底がそろっているときには置換しましょう。いつも通りの見慣れた方程式になり解きやすくなります。

底が異なる指数方程式

例

$3^{x}=7^{x+1}$

この方程式は，置換を利用してもきれいな式にはなりません。底も違うので $a^{x}=a^{c}$ の形にもならない式です。

このような場合は，どちらかの指数の底と同じ底を持つ対数を取ってあげることで，式が簡単になり，解くことができます。

解答

両辺を底が $3$ の対数を取ると与式は $\begin{aligned} \log_33^{x}&=\log_37^{x+1}\\ x&=(x+1)\log_37\\ (1-\log_37)x&=\log_37\\ x&=\dfrac{\log_37}{1-\log_37}\\ \end{aligned}$

指数方程式の連立方程式

応用例題として，指数方程式の連立方程式を解いてみましょう。

例

$\begin{cases} 2\cdot 5^{x}-3^{y}=1\\ 5^{x}+3^{y}=14 \end{cases}$

解答

$5^{x}=X,3^{y}=Y$ と置く。与式は，

$\begin{cases} 2\cdot X-Y=1\\ X+Y=14 \end{cases}$

となる。これを解くと

$X=5,Y=9$

したがって

$5^{x}=5,3^{y}=9$

$\therefore x=1,y=2$

指数関数を含む計算は微分方程式や積分方程式でも頻出です。指数の計算は練習しておきましょう。

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