「基本形」の指数方程式の解き方
さきほど紹介した 3x=27 は,指数方程式の「基本形」です。
解答
3x3xx=27=33=3
このように,ax=b と表される指数方程式は ax=ac の形に変形して x=c と解くことができます。底を共通にして解いています。
置換を利用して解く指数方程式
例
22x−6⋅2x+8=0
解答
2x=t と置く(0<t)
すると与式は
t2−6t+8=0(t−4)(t−2)=0∴t=2,4
つまり,2x=2,4 。したがって
x=1,2
このように,指数関数の底がそろっているときには置換しましょう。いつも通りの見慣れた方程式になり解きやすくなります。
底が異なる指数方程式
例
3x=7x+1
この方程式は,置換を利用してもきれいな式にはなりません。底も違うので ax=ac の形にもならない式です。
このような場合は,どちらかの指数の底と同じ底を持つ対数を取ってあげることで,式が簡単になり,解くことができます。
解答
両辺を底が 3 の対数を取ると与式は
log33xx(1−log37)xx=log37x+1=(x+1)log37=log37=1−log37log37
指数方程式の連立方程式
応用例題として,指数方程式の連立方程式を解いてみましょう。
例
{2⋅5x−3y=15x+3y=14
解答
5x=X,3y=Y と置く。与式は,
{2⋅X−Y=1X+Y=14
となる。これを解くと
X=5,Y=9
したがって
5x=5,3y=9
∴x=1,y=2
指数関数を含む計算は微分方程式や積分方程式でも頻出です。指数の計算は練習しておきましょう。
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