対数不等式の例題と解き方

$\log_2 (x+3) < 2 \log_2 (x+1)$ を解く。

1. 真数は正であるため，$x+3>0 , x+1>0$ である。したがって $x > -1$ である。

2. 与式を変形して $$\log_2 (x+3) < \log_2 (x+1)^2$$

3. 底 $2$ は $1$ より大きいので，不等号の向きはそのままで対数を外せて， $$x+3 < (x+1)^2$$ を解けばよい。式を整理して $$x^2 + x -2 > 0$$ である。これを解くと $x < -2, 1 < x$ である。

4. $x > -1$ と合わせて $x > 1$ が得られる。

$\log_{0.5} x + 1 \geqq \log_2 (x+1)$ を解く。

1. 真数は正であるため，$x>0 , x+1>0$ である。したがって $x>0$ となる。

2. 与式の底をそろえる。 $$\begin{aligned} \log_{0.5} x &= \dfrac{\log_2 x}{\log_2 0.5}\\ &= \dfrac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}}\\ &= -\log_2 x \end{aligned}$$ および $1=\log_2 2$ より，与式は $$\begin{aligned} -\log_2 x + \log_2 2 &\geqq \log_2 (x+1)\\ \log_2 \dfrac{2}{x} &\geqq \log_2 (x+1) \end{aligned}$$ となる。

3. 底 $2$ は $1$ より大きいので，不等号の向きそのまま対数が外すことができ， $$\dfrac{2}{x} \geqq x+1\\ 2 \geqq x^2+x\\ x^2 + x -2 \leqq 0$$ となる。これを解くことで $-2 \leqq x \leqq 1$ が得られる。

4. $x>0$ と合わせて $0 < x \leqq 1$ となる。

$(\log_2 x)^2 \leqq \log_2 x + 2$ を解く。

1. 真数条件から $x>0$ である。

2. 式の中に現れる対数は $\log_2 x$ だけである。

3. $\log_2 x = t$ とおくと，与式は $$t^2 \leqq t + 2$$ である。すなわち $$t^2-t-2 \leqq 0$$ である。これを解くと $-1 \leqq t \leqq 2$ となる。

4. よって $-1 \leqq \log_2 x \leqq 2$ となる。これを解いて $$\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 4$$ が得られる。

5. この範囲は $x>0$ というステップ1で確認した真数条件を満たす。