座標を用いた射影平面の定義

「射影平面における直線・曲線」について考えてみます。

$f(x,y,z)=0$ が射影平面上の曲線を表すのはどのようなときでしょうか？

斉次式

多項式 $f(x,y,z)$ が 同じ次数の単項式の和で表される とき 斉次多項式 という。

斉次多項式によって $\mathbb{R} P^2$ 上の曲線が与えられます。実際，$[x,y,z]\sim [x',y',z']$ なら，$f(x,y,z)=0 \iff f(x',y',z')=0$ が成立します。つまり$f$ が斉次式なら射影平面上の各点に対して $f=0$ か否かがきちんと定義できるというわけです。

ただし，$(x,y,z)$ の $\sim$ による同値類を $[x,y,z]$ と書きました。

射影平面の３通りの定義 の定義と等価であることを確認していきます。

平面に無限遠点を追加した集合

$\mathbb{R}^2$ と $\mathbb{R} P^2$ に次のような対応を定めます。

$$\begin{matrix} \mathbb{R}^2\\ (x,y) \end{matrix} \begin{matrix} \longrightarrow\\ \longrightarrow \end{matrix} \begin{matrix} \mathbb{R} P^2\\ [x,y,1] \end{matrix}$$

こうして射影平面の中に $\mathbb{R}^2$ を埋め込むことができました。

一方で $Z \neq 0$ となる $[X,Y,Z]$ に対して，同値関係より $[X,Y,Z] = \left[ \dfrac{X}{Z} , \dfrac{Y}{Z} , 1 \right]$ となります。

よって $\left( \dfrac{X}{Z} , \dfrac{Y}{Z} \right)$ とすると $\mathbb{R}^2$ の元が得られます。

ここまでの議論では $[X,Y,0]$ という元が溢れますね。

$\dfrac{X}{0} = \infty$ のようなイメージを持つと，$[X,Y,0]$ は $\mathbb{R}^2$ において「無限遠」に対応します。

半球を貼りあわせたもの

このイメージは同値関係の定義からの着想です。

$\mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \}$ の点 $(x,y,z)$ を任意に取ったとき， $$\left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} , \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} , \dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \right)$$ は単位球面上の点です。

この点は $(x,y,z)$ と同値になります。

よって $\mathbb{R} P^2$ を考える際，$\mathbb{R}^3 \backslash \{\mathrm{O}\}$ を3次元単位球面に制限しても問題がないことになります。

三次元空間中の原点を通る直線の集合

同値関係の定義を思い出すと，$\mathbb{R}^3$ で原点を通る直線上の点はすべて $\mathbb{R} P^3$ 上で一致することになります。

$\mathbb{R}^2$ 上の曲線 $C$ から，$\mathbb{R} P^2$ 上の曲線 $\tilde{C}$ への以下のような対応を考えます。