垂直二等分線

2つの円の半径は同じであるため，$\mathrm{AC} = \mathrm{AD} = \mathrm{BC} = \mathrm{BD}$ である。したがって四角形 $\mathrm{ABCD}$ はひし形である。よって2つの対角線 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$ は垂直に交わり，その交点 $\mathrm{H}$ が 線分 $\mathrm{AB}$ の中点となる。

直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ であるため，垂直二等分線の傾きは $- \dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ である。垂直二等分線は $\mathrm{AB}$ の中点 $\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2} , \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ を通る。よって $$y = -\dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} \left( x - \dfrac{x_1 + x_2}{2} \right) + \dfrac{y_1 + y_2}{2}$$

となる。整理すると，定理の式を得る。（$x_1=x_2$ や $y_1=y_2$ のときは傾きの議論は使えないが，定理の式は正しい）

$\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{H}$，垂直二等分線上の任意の点を $\mathrm{P} (x,y)$ とおく。$\mathrm{AB}$ と $\mathrm{HP}$ は直交するため，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HP}} = 0$ である。

$\mathrm{P}$ が $\mathrm{H}$ と異なるときを考える。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}\\ \overrightarrow{\mathrm{HP}} = \begin{pmatrix} x - \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ y - \dfrac{y_1 + y_2}{2} \end{pmatrix}$$ であるため内積を計算すると $$(x_2 - x_1) \left( x - \dfrac{x_1 + x_2}{2} \right) + (y_2 - y_1) \left( y - \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right) = 0$$ である。式を整理することで求めるべき式が得られる。

またこの式は $\mathrm{P}$ が $\mathrm{H}$ であるときも含む。

$\mathrm{P} (x,y)$ を垂直二等分線上の任意の点とする。このとき $\mathrm{AP}^2 = \mathrm{BP}^2$ である。ゆえに $$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2$$ である。 $$x^2 - 2x_1 x + x_1^2 + y^2 - 2y_1 y + y_1^2 = x^2 - 2x_2 x + x_2^2 + y^2 - 2y_2 y + y_2^2\\ 2\{ (x_2 - x_1) x + (y_2 - y_1) y \} = x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2\\ (x_2 - x_1) x + (y_2 - y_1)y = \dfrac{x_2^2 - x_1^2}{2} + \dfrac{y_2^2 - y_1^2}{2}$$ である。