円順列の公式と2通りの考え方

5人を「円形に並べる」ので円順列です。

円順列の公式 $(n-1)!$ で $n=5$ とすると，答えは

$(5-1)!=4!=24$ 通り

異なる $n$ 個のものを円形に並べるとき，それぞれ $n$ 通りが「同じ並べ方」になる。

例えば，$n=5$ のとき，図のような $5$ つの並べ方は回転させて一致するので「同じ並べ方」である。

以上をふまえて，

• $n$ 個のものをとりあえず並べる順列の数は $n!$ 通りである。→順列と組合せの違いと例題
• ただし，それぞれについて「同じ並べ方」が $n$ 通りカウントされてしまうので，$n$ で割る必要がある。

つまり，円順列の数は $n!\div n = (n-1)!$ 通りとなる。

$n$ 個のものを円形に並べるとき，1つを固定して考えると，残り $n-1$ 個を並べる順列の個数に等しい。よって

$(n-1)!$ 通りになる。

まず，大人4人が円形に並ぶ並び方は円順列の公式より

$$(4-1)! =6\text{通り}$$

次に子供の並び方は，大人の間に子供を入れるように並べればよいから

$${}_4\mathrm{P}_4 =24\text{通り}$$

よって，求める総数は $$6×24=144\text{通り}$$

(1)通常の順列のときと同様に男子2人をひとまとまりに考える。まず，男子2人の並び方は2通り。

また，ひとまとまりの男子と女子4人の円順列は $$(5-1)!=24\text{通り}$$ よって，求める総数は $$2×24=48\text{通り}$$

(2)まず，男子2人が向かい合って座る座り方は1通り。

次に，女子の並び方は，向かい合っている男子が固定されているため一列に並べる順列として考えると $$4!=24\text{通り}$$

「回転または裏返しで一致するものは同じ数珠なので同じ作り方とみなす」ので，数珠順列の問題である。

異なる5個のものの数珠順列であるから

$$\dfrac{(5-1)!}{2}=12\text{通り}$$

(1) 1個しかない黒玉を固定して考えると，これらの玉を円形に並べる総数は，赤玉2個，青玉2個を一列に並べる方法の数に等しいから

$$\dfrac{4!}{2!2!}=6\text{通り}$$

(2) (1)で求めた円順列のうち，裏返しても変わらないものは図の2通り。 よって，腕輪の作り方は

$$\dfrac{(6-2)}{2}+2=4\text{通り}$$