分母の有理化の方法と問題例6問（中学から高校まで）

分母の有理化とは

$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ という分数について考えます。分母 $\sqrt{3}$ は無理数です。

分母と分子に同じ数（$\sqrt{3}$）をかけても値は同じなので， $$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ と変形できます。新しくできた分数 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ の分母 $3$ は整数（有理数）です。

このように，分母を有理数にする変形を分母の有理化と言います。例えば，「分母に根号を含む数」を「分母に根号を含まない数」に変形することを，分母を有理化すると言います。

分母を有理化する理由については，分母の有理化や実数化についてに記載しています。

分母の有理化の基本の考え方

分母の有理化の計算にあたり，基本は以下のような考えで進めていくことになります。

2番をして良い理由は，冒頭でも述べたとおり，分母と分子に同じ数をかけても分数の値は変わらないためです。

以下で，分母の有理化で用いる方法を3つ紹介します。

分母のルートの外し方（分母が $\sqrt{n}$ のとき）

分母が $\sqrt{n}$ である分数は，分母と分子に $\sqrt{n}$ をかけることで有理化できます。（ただし $n$ は整数とします）

例えば，さきほどの $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ では，分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけることで有理化できました： $$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

最後に約分できるときは約分するのを忘れないようにしましょう。

分母の有理化（分母が2項の場合）

分母が複雑な場合には，乗法公式を意識して，分母の根号を外すことを考えます。乗法公式については乗法公式（式の展開公式）19個まとめでまとめてありますので，こちらもぜひ参考にしてください。

分母が根号を含む2項の場合は，和と差の展開公式を意識して分母の有理化をします。

分母が $A+B$ のかたちのとき

分母が $A+B$ なら，分母と分子に $A-B$ をかけることで有理化できます。(ただし $A$ と $B$ は整数または $\sqrt{n}$ とします)

分母の $A$，$B$ が2乗のかたちで現れるため，分母を有理化できるというわけです。

分母が $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ なので，分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ をかければ有理化できます：
$\dfrac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\\ =\dfrac{4(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}\\ =\dfrac{4\sqrt{5}-4\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}\\ =\dfrac{4\sqrt{5}-4\sqrt{2}}{3}$

ただし途中で $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ という展開公式を使いました。

分母が $A-B$ のかたちのとき

$A+B$ には $A-B$ をかけました。逆に，$A-B$ には $A+B$ をかけることで有理化できます。

分母と分子に $2+\sqrt{3}$ をかけると， $$\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$$ となります。

分母がさらに複雑な分数の有理化（分母が3項以上の場合）

分母の項が3つ以上の場合も同様に，$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ を使って有理化します。根号を含む2つの項を1つの項と考えて有理化を図ることがポイントになります。

解決には2通りの方針が考えられます。まず，簡単に計算できる方針を述べます。

次に，愚直に計算する方針を紹介します。こちらの方が計算が大変ですが，反面分母の項数が増えても適用可能という利点も持っています。

ここまで，分母にルートが入った式の有理化の方法を紹介しました。

累乗根が入った式の有理化

分母にルートでなく，累乗根が含まれるような場合でも，有理化できる場合があります。

分母に三乗根が入った式も，有理化したくなる場合があります。$a$ の三乗根 $\sqrt[3]{a}$ とは，3乗して $a$ になる数のことで，高校数学で習います。

分母が $\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}$ という形の場合，分母分子に $(\sqrt[3]{a})^2\mp\sqrt[3]{ab}+(\sqrt[3]{b})^2$ をかけることで有理化できます。 乗法公式のうち，

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$$

という公式を使って三乗を作り出します。

より一般に，$n$ 乗根が入った式の有理化には，因数分解公式（n乗の差，和）を使います。