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分母の有理化のいろいろな例題

更新日時 2021/03/07

分母にルートや累乗根が入った式を有理化する方法,および例題を解説します。

なお,この記事では a,b,c,da,b,c,d は有理数とします。

目次
  • ルートが入った式の有理化(中学数学レベル)

  • 累乗根が入った式の有理化(高校数学レベル)

  • おまけ

ルートが入った式の有理化(中学数学レベル)

例題

分母を有理化せよ。

(1) 12\dfrac{1}{\sqrt{2}}

(2) 35+2\dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}

(3) 41+2+3\dfrac{4}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}

解答

(1) 分母分子に 2\sqrt{2} をかける:

12=1×22×2=22\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

(2) 分母分子に 52\sqrt{5}-\sqrt{2} をかける:

3(52)(5+2)(52)=3(52)3=52\dfrac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\dfrac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}=\sqrt{5}-\sqrt{2}

(3) 分母分子に 1+231+\sqrt{2}-\sqrt{3} をかけて計算すると,2+262+\sqrt{2}-\sqrt{6} →分母に項が3つある場合の有理化の例1

補足

一般に,分母が a±b\sqrt{a}\pm\sqrt{b} という形の場合,分母分子に ab\sqrt{a}\mp\sqrt{b} をかけることで有理化できます。

累乗根が入った式の有理化(高校数学レベル)

例題

分母を有理化せよ。

(4) 123+1\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+1}

(5) 17323\dfrac{1}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}

解答

(4) 分母分子に (23)223+1(\sqrt[3]{2})^2-\sqrt[3]{2}+1 をかけると,

(23)223+12+1=13{(23)223+1}\dfrac{(\sqrt[3]{2})^2-\sqrt[3]{2}+1}{2+1}=\dfrac{1}{3}\{(\sqrt[3]{2})^2-\sqrt[3]{2}+1\}

となる。

(5) 分母分子に (73)2+7323+(23)2(\sqrt[3]{7})^2+\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2 をかけると,

15{(73)2+7323+(23)2}\dfrac{1}{5}\{(\sqrt[3]{7})^2+\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2\} となる。

補足

分母が a3±b3\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b} という形の場合,分母分子に (a3)2ab3+(b3)2(\sqrt[3]{a})^2\mp\sqrt[3]{ab}+(\sqrt[3]{b})^2 をかけることで有理化できます。

より一般に,nn 乗根が入った式の有理化には,因数分解公式(n乗の差,和)を使います。

おまけ

例題

分母を有理化せよ。

(6) 11+2+3+5\dfrac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}

方針1

分母分子に (1+2)(3+5)(1+\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{5}) をかけて頑張る。

方針2

分母分子に 1+2+351+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5} かけて,5\sqrt{5} を消す。

次に,分母を a+b2+3(c+d2)a+b\sqrt{2}+\sqrt{3}(c+d\sqrt{2}) という形に変形した上で,分母分子に a+b23(c+d2)a+b\sqrt{2}-\sqrt{3}(c+d\sqrt{2}) をかけて 3\sqrt{3} を消す。最後に 2\sqrt{2} を消す。

答えは,

171(93612553+535+46634102615+1430)\dfrac{1}{71}(93-61\sqrt{2}-55\sqrt{3}+53\sqrt{5}\\+46\sqrt{6}-34\sqrt{10}-26\sqrt{15}+14\sqrt{30})

(きたなっ!)

方針1の方が楽ですが,方針2は分母の項数がもっと増えても使えます。

一応 12+3+5+7+11\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}} なども有理化できます。

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