分数式の基本的な計算と例

分母が同じである分数式の足し算は，分母はそのままで分子は足し算です：

参考：分母が同じである分数の足し算も，分母はそのままで分子は足し算でした：
例. $\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{7}$

分数式の引き算も同様です。分母はそのままで分子は引き算です。

分数式のかけ算は，分母どうし，分子どうし，かけ算です：

参考：分数のかけ算も，分母どうし，分子どうし，かけ算でした：
例. $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{15}$

分数式の割り算は，分母と分子をひっくり返してかけ算です：

参考：分数の割り算も，分母と分子をひっくり返してかけ算でした：
例. $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{7}{4}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{8}{21}$

分数式の約分は，共通因数で分母と分子を割る（そのために，必要なら分母と分子をそれぞれ因数分解する）です：

参考：分数の約分も，共通の約数で分母と分子を割る（そのために、必要なら分母と分子をそれぞれ素因数分解する）でした：
例. $\dfrac{42}{60}=\dfrac{2\times 3\times 7}{2\times 2\times 3\times 5}=\dfrac{7}{10}$

分数式の通分は，相方の分母を自分の分母と分子にかけるです：

参考： 分数の通分も，相方の分母を自分の分母と分子にかけるでした：
例. $\dfrac{1}{3}$ と $\dfrac{2}{5}$ を通分すると， $\dfrac{1\times 5}{3\times 5}$ と $\dfrac{2\times 3}{5\times 3}$ つまり，$\dfrac{5}{15}$ と $\dfrac{6}{15}$

※正確には「相方の分母をかける」というよりも「分母の最小公倍数（最小公倍多項式）になるようにかける」です。

応用： 分数式を含む方程式や不等式を解く際に，分数式の通分が必要になる場合が多いです。 →分数不等式のおすすめの解き方と例題

分母が異なる分数式の足し算は，通分してから分子を足し算です：

参考： 分母が異なる分数の足し算も，通分してから分子を足し算でした： 例. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{5}{15}+\dfrac{6}{15}\\ =\dfrac{11}{15}$

分数式は，分子を分母で割って商と余りを計算することで，「多項式」＋「分子の方が次数が低い分数式」に変形できます。→多項式の割り算の二通りの計算方法と例題

これは，分数の計算において仮分数を帯分数に直す操作と似ています。
例. $\dfrac{14}{3}=\dfrac{3\times 4+2}{3}=4+\dfrac{2}{3}$

応用

• 一次分数関数 $y=\dfrac{cx+d}{ax+b}$ のグラフを書く際に，上記の変形が役に立ちます：一次分数関数のグラフと漸近線
• 分数式を微分したり積分したりする際も，上記の変形をすることが多いです。
• 分数関数の極値を求める２つのテクニックのテクニック2でも登場する変形です。

Tag:数学２の教科書に載っている公式の解説一覧