コーシー列

定義(コーシー列)

数列 {an}\{ a_n \}コーシー列であるとは, limn,manam=0 \lim_{n,m \to \infty} |a_n - a_m| = 0 であることを表す。

イプシロンデルタ論法の表現できちんと述べると,

任意の正の実数 ε\varepsilon に対し,ある正の整数 NN があって,NN より大きい任意の整数 n,mn,m に対して anam<ε | a_n - a_m | < \varepsilon となることを表す。

この記事では,コーシー列の意味と性質について解説します。

実数のコーシー列

実数のコーシー列について,次の定理が重要です。

定理1

実数列 {an}\{ a_n \} がコーシー列であるならば,数列 {an}\{ a_n \} は収束する。

逆に収束する実数列はコーシー列である。

証明は イプシロンデルタ論法 の良い練習になります。

逆から証明します。

収束するならコーシー列であることの証明

正数 ε\varepsilon を任意に取る。

ana_nα\alpha に収束するため,任意の ε>0\varepsilon>0 に対してある正の整数 NN があって,n>Nn > N であれば anα<ε2|a_n - \alpha| < \dfrac{\varepsilon}{2} とできる。

よって n,m>Nn,m > N と取ると, anam=(anα)(amα)anα+amα=ε2+ε2=ε\begin{aligned} &|a_n - a_m|\\ &= | (a_n - \alpha) - (a_m - \alpha) |\\ &\leqq |a_n - \alpha| + |a_m - \alpha|\\ &= \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2}\\ &= \varepsilon \end{aligned} となる。

一方「コーシー列なら収束する」の証明は少し難しいです。まず {an}\{ a_n \} の収束値がないと議論できないので,それを構成します。そのために ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理 を使います。

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

有界な実数列 {an}\{ a_n \} は収束する部分列を持つ。

この定理を用いるために,まず {an}\{ a_n \} の有界性を証明します。

コーシー列ならば収束すること

正の実数 ε\varepsilon を任意に取る。

ε2>0\dfrac{\varepsilon}{2} > 0 に対して,ある正の整数 NN があって,n,m>Nn,m > N があり anam<ε2|a_n - a_m| < \dfrac{\varepsilon}{2} である。

ステップ1:コーシー列の有界性

特に m=N+1m = N+1 として,三角不等式を用いると an<aN+1+ε2 |a_n| < |a_{N+1}| + \dfrac{\varepsilon}{2} を得る。

M=max{a1,a2,,aN,aN+1+ε2} M = \max \left\{ |a_1| , |a_2| , \cdots , |a_{N}| , \left|a_{N+1} + \dfrac{\varepsilon}{2} \right| \right\} とすると任意の nn に対して an<M|a_n| < M となる。

ステップ2:収束値の構成

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理 より {an}\{ a_n \} は収束する部分列を持つ。

この部分列を {ank}\{ a_{n_k} \},収束値を α\alpha とおく。

このとき,さきほどの ε>0\varepsilon>0 に対して整数 KK があって k>Kk > Kankα<ε2| a_{n_k} - \alpha | < \dfrac{\varepsilon}{2} である。

N=max(N,nK)N' = \max (N, n_{K}) とおき,KK'nK>Nn_{K'} > N' を満たす正の整数とする。このとき n>Nn > N'k>Kk > K' であれば anαanank+ankαε2+ε2=ε\begin{aligned} &| a_n - \alpha |\\ &\leqq |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - \alpha|\\ &\leqq \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2}\\ &= \varepsilon \end{aligned} となる(1項目はコーシー列の性質,2項目は部分列が収束することによる)。

よって {an}\{ a_n \}α\alpha に収束する。

コーシー列の応用

例題1

n=11n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} が収束することを示せ。

定理1より,コーシー列であることを示せばよいです。

解答

cn=k=1n1k2c_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} とおく。

正の実数 ε\varepsilon を任意に取る。

正の整数 NN1N<ε\dfrac{1}{N} < \varepsilon となるように取る。

N<n<mN < n < m であれば 1N>1n>1m\dfrac{1}{N} > \dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{m} であり, cncm=1(n+1)2++1m21n(n+1)++1(m1)m=(1n1n+1)++(1m11m)=1n1m<1n<1N<ε\begin{aligned} &|c_n - c_m|\\ &= \dfrac{1}{(n+1)^2} + \cdots + \dfrac{1}{m^2}\\ &\leqq \dfrac{1}{n(n+1)} + \cdots + \dfrac{1}{(m-1)m}\\ &= \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right) + \cdots + \left( \dfrac{1}{m-1} - \dfrac{1}{m} \right)\\ &= \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{m} \\ &< \dfrac{1}{n}\\ &< \dfrac{1}{N}\\ &< \varepsilon \end{aligned} となる。

よって cncmc_n - c_m00 に収束するため,{cn}\{ c_n \} はコーシー列である。つまり収束する。

例題2

数列 {an}\{ a_n \}a1=1a_1 = 1an+1=1+11+ana_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{1+a_n} とする。limnan\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n を求めよ。

anaman1am1(1+am1)(1+an1) |a_n - a_m| \leqq \dfrac{|a_{n-1} - a_{m-1}|}{(1+a_{m-1})(1+a_{n-1})} と計算できるので,(1+am1)(1+an1)(1+a_{m-1})(1+a_{n-1}) の評価をします。

解答

まず 1an321 \leqq a_n \leqq \dfrac{3}{2} であることを帰納法により示す。

  • a1=1a_1 = 1 である。

  • 1an1321 \leqq a_{n-1} \leqq \dfrac{3}{2} とすると 2511+an112\dfrac{2}{5} \leqq \dfrac{1}{1+a_{n-1}} \leqq \dfrac{1}{2} であるため,特に 011+an1120 \leqq \dfrac{1}{1+a_{n-1}} \leqq \dfrac{1}{2} である。よって 1an32 1 \leqq a_n \leqq \dfrac{3}{2} となり示された。

これより (1+am1)(1+an1)4(1+a_{m-1})(1+a_{n-1}) \geqq 4 がわかる。

正の実数 ε\varepsilon を任意に取る。

n>mn > m とする。

anam=(1+11+an1)(1+11+am1)=am1an1(1+am1)(1+an1)an1am14anm1a14m1124m1\begin{aligned} &|a_n - a_m|\\ &= \left| \left( 1+\dfrac{1}{1+a_{n-1}} \right) - \left( 1+\dfrac{1}{1+a_{m-1}} \right) \right|\\ &= \left| \dfrac{a_{m-1} - a_{n-1}}{(1+a_{m-1})(1+a_{n-1})} \right|\\ &\leqq \dfrac{|a_{n-1} - a_{m-1}|}{4}\\ &\leqq \dfrac{|a_{n-m-1}-a_1|}{4^{m-1}}\\ &\leqq \dfrac{1}{2 \cdot 4^{m-1}} \end{aligned}

mm \to \infty124m10\dfrac{1}{2 \cdot 4^{m-1}} \to 0 であるため,{an}\{ a_n \} はコーシー列である。よって,定理1より収束するのでその値を limnan=α\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha とおく。

α=limnan+1=limn1+11+an=1+11+α\begin{aligned} \alpha &= \lim_{n \to \infty} a_{n+1}\\ &= \lim_{n \to \infty} 1+ \dfrac{1}{1+a_n}\\ &= 1 + \dfrac{1}{1+\alpha} \end{aligned} である。整理すると α22=0 \alpha^2 - 2 = 0 であるため α=±2\alpha = \pm \sqrt{2} である。

an>0a_n > 0 であるため α>0\alpha > 0 である。よって α=2\alpha = \sqrt{2} である。

コーシー列であると分かれば収束値を持つので,漸化式の ana_nα\alpha を代入した方程式を解くと,収束値が求められます。

関連:漸化式で表される数列の極限

有理数のコーシー列

コーシー列はどのような数列にも適用できる概念です。

そこで,有理数からなるコーシー列 {an}\{ a_n \} を考えましょう。有理数は実数なので,{an}\{ a_n \} は実数の範囲では収束値を持ちます。では,その収束値は必ず有理数でしょうか?

答えは実はNoです。

a0=1a_0 = 1a1=1.4a_1 = 1.4a2=1.41a_2 = 1.41 というように ana_n2\sqrt{2} の小数点以下 nn 桁までで止めた数を表す。

{an}\{ a_n \} はコーシー列である。実際,n<mn < m とすると anama_n - a_m は小数点以下 nn 桁まで 00 になるため, anam10n |a_n - a_m| \leqq 10^{-n} である。

nn \to \infty とすると 10n010^{-n} \to 0 であるため {an}\{ a_n \} はコーシー列である。

一方 limnan=2\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{2} であるが,これは有理数ではない。

つまり,

  1. 実数のコーシー列の収束値は実数
  2. 有理数のコーシー列の収束値は有理数とは限らない

です。1を実数の完備性といいます。

展望~距離空間への一般化

複素数の絶対値に対してコーシー列を考えることができます。複素数のコーシー列も複素数に収束します。

実数や複素数の絶対値は 距離空間 に一般化できるのでした。コーシー列も距離空間に一般化できます。

コーシー列(一般の距離空間)

距離空間 (X,d)(X,d) の点列 {xn}\{x_n\}コーシー列であるとは, limn,md(xn,xm)=0 \lim_{n , m \to \infty} d (x_n,x_m) = 0 になることを意味する。

任意のコーシー列が空間 XX の元に収束する場合,その距離空間を完備距離空間という。

これまで見てきたように実数の集合は完備距離空間になります。一方,有理数の集合は完備ではありません。

有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます。

実は有理数を完備化する方法は1通りではありません! 興味がある人は pp 進数 で調べてみましょう。

また関数列に対してもコーシー列を考えることができます。これはまた次の機会にお話します。

最後の話題は,すコーシー難しいかもしれません。