ノルム空間

ノルム空間の例をいくつか見てみましょう。

$\mathbb{R}$，$\mathbb{C}$

$x \in \mathbb{C}$ に対して $|x|$（通常の意味での絶対値）はノルムの定義を満たします。

$\mathbb{R}^n$

もっとも基本的なノルムは「線分の長さ」でしょう。

$x = (x_1, \cdots , x_n) \in \mathbb{R}^n$ に対して $$\| x \| = \sqrt{{x_1}^2 + \cdots + {x_n}^2}$$ と定めると，これはノルムになります。（ユークリッド距離）

ちょっと毛色を変えてみましょう。

$1$ 以上の実数 $p$ に対して $$\| x \|_p = \sqrt[p]{|x_1|^p+\cdots +|x_n|^p}$$ と定義してもこれはノルムになります。これは $L_p$ ノルムと呼びます。

特に $p=1$ のときは $$\| x \|_1 = |x_1| + \cdots + |x_n|$$ となります。これはマンハッタン距離といいます。

詳しくはこちらもどうぞ → ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム

関数のノルム

最大値

$[a,b]$ 上の連続関数 $f$ について $$\| f \| = \max_{x \in [a,b]} \ | f(x) |$$ はノルムになります。

$p$ ノルム

関数にも $\mathbb{R}^n$ と同様にノルムを定めることができます。

$p$ は $1$ 以上の実数とします。$[a,b]$ 上で定義された関数 $f$ に対して $$\| f \|_p = \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}$$ と定義します。 $$\mathscr{L}^p ([a,b]) = \{ f \in C([a,b]) \mid \| f \|_p < \infty \}$$ とおきます。

このとき $(\mathscr{L}^p , \| \ \|_p)$ はノルム空間になります。

内積空間

内積空間は自然にノルム空間になります。

内積空間 $(V, \langle \, \ \rangle)$ に対して $$\| x \|_V = \sqrt{\langle x,x \rangle}$$ と定めると，$V$ はノルム空間になります。

• さきほどみたように，内積空間はノルム空間になります。
• 一方，ノルム空間が内積空間になるとは限りません。

ノルム空間であるが内積空間ではない例

ノルム空間が内積空間になる条件

例

$\mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^n$ の自然なノルム（$\| x \| = \sqrt{{x_1}^2 + \cdots + {x_n}^2}$）で中線定理が成り立つため，$\mathbb{R}^n$ は内積空間になる。

$\mathscr{L}^p$

ノルム空間では極限を考えることができます。