フーリエ変換と畳み込み

$$\begin{aligned} &\mathscr{F} (f*g)\\ &=\mathscr{F}\left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) g(x-t) dt \right)\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)dt\right)e^{-ix\xi}dx \end{aligned}$$

フビニの定理より積分の順序を交換すると，上式は

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(x-t)e^{-ix\xi}dx\right)f(t)dt$$

となる。この $x$ についての積分は $x-t=y$ と置換すると

$$\int_{-\infty}^{\infty}g(y)e^{-iy\xi}dy\times e^{-it\xi}=e^{-it\xi}\mathscr{F} (g)$$

となる。よって $t$ についての積分もすると $\mathscr{F}(f)\mathscr{F}(g)$ となる。

1. $f$ のフーリエ変換を計算する。

$$\mathscr{F} f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{a}{\pi} \dfrac{e^{-ix\xi}}{x^2+a^2} dx$$

下図のように積分経路を取る。

留数定理 より

$$\begin{aligned} \int_{C_1 + C_2} \dfrac{e^{-iz\xi}}{x^2+a^2} dz &= 2\pi i \mathrm{Res}\ \left( ai , \dfrac{e^{-iz\xi}}{z^2+a^2} \right)\\ &= 2\pi i \lim_{z \to ai} \dfrac{e^{-iz\xi}}{z+ai}\\ &= \dfrac{\pi}{a} e^{a\xi} \end{aligned}$$

となる。

ここで $$\lim_{R \to \infty} \int_{C_1} \dfrac{e^{-iz\xi}}{z^2+a^2} dz = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{-ix\xi}}{x^2+a^2} dx$$ である。

$$\begin{aligned} \left| \lim_{R \to \infty} \int_{C_2} \dfrac{e^{-iz\xi} dz}{z^2+1} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\pi} \dfrac{|Rie^{i\theta} e^{-iRe^{i\theta} \xi}|d\theta}{|R^2e^{2i\theta}+1|}\\ &= \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\pi} \dfrac{|Rie^{i\theta}e^{-iR \xi\cos \theta} e^{R \xi\sin \theta} |d\theta}{|R^2e^{2i\theta}+1|}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_0^{\pi} \dfrac{R e^{R \xi \sin \theta} }{R^2-1} \; d\theta\\ \end{aligned}$$

$\xi < 0$ であれば $R\xi \sin \theta < 0$ となり $$\lim_{R \to \infty} \int_0^{\pi} \dfrac{R e^{R \xi \sin \theta} }{R^2-1} \; d\theta = 0$$ である。

よって $\xi < 0$ のとき $$\mathscr{F} f (\xi) = e^{a\xi}$$ である。

ここで $$\begin{aligned} \mathscr{F} f(-\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{a}{\pi} \dfrac{e^{ix\xi}}{x^2+a^2} dx\\ &= \int_{\infty}^{-\infty} \dfrac{a}{\pi} \dfrac{e^{-ix\xi}}{(-x)^2+a^2} (-dx)\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{a}{\pi} \dfrac{e^{-ix\xi}}{x^2+a^2} dx\\ &=\mathscr{F} f (\xi) \end{aligned}$$ となるため，$\mathscr{F} f$ は偶関数である。よって $$\mathscr{F} f (\xi) = e^{-a|\xi|}$$ である。

2. フーリエ逆変換を計算する。

こうして $$( \mathscr{F} (f) \cdot \mathscr{F} (f) )(\xi)= e^{-2a|\xi|}$$ と分かった。これをフーリエ逆変換すればよい。

$$\begin{aligned} &\mathscr{F}^{-1} (e^{-2a|\xi|})\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2a|\xi|} e^{it\xi} d\xi\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-2a\xi + it\xi} d\xi +\dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} e^{2a\xi + it\xi} d\xi\\ &= \dfrac{1}{2\pi}\left[ \dfrac{e^{-2a\xi + it\xi}}{-2a + it} \right]_{0}^{\infty} + \dfrac{1}{2\pi}\left[ \dfrac{e^{2a\xi + it\xi}}{2a + it} \right]_{-\infty}^{0}\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \left( \dfrac{1}{2a - it} + \dfrac{1}{2a + it} \right)\\ &= \dfrac{2a}{\pi (t^2 + 4a^2)} \end{aligned}$$

こうして $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) f(t-x) dx = \dfrac{2a}{\pi (t^2 + 4a^2)}$$ と計算できた。