留数定理を用いた有理関数の積分

実数 $R > 0$ を十分大きくとる。

$C_1$ を $(-R)$ から $(R)$ を結ぶ直線，$C_2$ を $|z|=R$ の $\mathrm{Im} (z) \geqq 0$ の部分とする。なお，向きは反時計回りにつける。$C = C_1 + C_2$ とする。

$\dfrac{1}{z^2+1}$ の特異点は $\pm i$ で，各点での位数は $1$ である。

$R$ を十分大きく取っているため，$i$ は $C$ で囲まれた領域に入る。

よって留数定理から

$$\oint_{C} \dfrac{dz}{z^2+1} = 2 \pi i \; \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^2+1} , i \right)$$

である。

$$\begin{aligned} \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^2+1} , i \right) &= \lim_{z \to i} (z-i) \cdot \dfrac{1}{z^2+1}\\ &= \lim_{z\to i} \dfrac{1}{z+i}\\ &=\dfrac{1}{2i} \end{aligned}$$

より， $$\begin{aligned} \oint_{C} \dfrac{dz}{z^2+1} &= 2 \pi i \; \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^2+1} , i \right)\\ &= 2 \pi i \dfrac{1}{2i}\\ &= \pi \end{aligned}$$

上の結果は $R$ に寄らないため，$R \to \infty$ としても積分値は変わらない。すなわち $$\lim_{R \to \infty} \oint_{C} \dfrac{dz}{z^2+1} = \pi$$ となる。

次に $C_1,C_2$ での積分を計算する。

$$\lim_{R \to \infty} \int_{C_1} \dfrac{dz}{z^2+1} = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^2+1}$$ は求めたい値になる。一方 $C_2$ については，$z=Re^{i\theta}$ と置換して三角不等式 $|a+b|\geqq |a|-|b|$ を使うと， $$\begin{aligned} \left| \lim_{R \to \infty} \int_{C_2} \dfrac{dz}{z^2+1} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\pi} \dfrac{|Rie^{i\theta}|d\theta}{|R^2e^{2i\theta}+1|}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_0^{\pi} \dfrac{R}{R^2-1} \; d\theta\\ &= 0 \end{aligned}$$ より $\displaystyle \lim_{R \to \infty} \int_{C_2} \dfrac{dz}{z^2+1} = 0$ である。

以上より $$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^2+1} &= \lim_{R \to \infty} \int_{C_1} \dfrac{dz}{z^2+1}\\ &= \lim_{R \to \infty} \int_{C_1} \dfrac{dz}{z^2+1} + \int_{C_2} \dfrac{dz}{z^2+1}\\ &= \lim_{R \to \infty} \oint_{C} \dfrac{dz}{z^2+1}\\ &= \pi \end{aligned}$$ である。

$R>0$ を，$\Delta(0,R)$ が $\Delta (\pm 1 , \delta)$ を含むように大きくとる。

• $C_R = \{ z \mid |z| = R , \mathrm{Im} (z) \geqq 0 \}$
• $L_{R,\delta}$：実軸上の区間 $[-R,-1-\delta]$，$[-1+\delta,1-\delta]$，$[1+\delta,R]$ の和
• $L_{\varepsilon,\delta}$：実軸上の区間 $[-1-\delta,-1-\varepsilon]$，$[-1+\varepsilon,-1+\delta]$，$[1-\delta,1-\varepsilon]$，$[1+\varepsilon,1+\delta]$ の和
• $c_{\varepsilon} (1) = \{ z \mid |z-1| = \varepsilon , \mathrm{Im} (z) \leqq 0 \}$
• $c_{\varepsilon} (-1) = \{ z \mid |z+1| = \varepsilon , \mathrm{Im} (z) \leqq 0 \}$

これらの和を $C$ とおく。このとき向きは反時計回りにとる。

$C$ は $\pm 1,i$ を含むため，留数定理から $$\begin{aligned} &\oint_C \dfrac{dz}{z^4-1}\\ &= 2\pi i \left( \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^4-1} , 1\right) + \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^4-1} , -1\right) + \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^4-1} , i\right) \right)\\ &= 2\pi i \left( \left. \dfrac{1}{(z+1)(z^2+1)} \right|_{z=1} + \left. \dfrac{1}{(z-1)(z^2+1)} \right|_{z=-1} +\left. \dfrac{1}{(z+i)(z^2-1)} \right|_{z=i} \right)\\ &= 2 \pi i \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{i}{4} \right)\\ &= -\dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$ である。

$C_R$ での積分は例1と同様に計算できる： $$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^4-1} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\pi} \dfrac{R}{R^4-1} \; d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} \dfrac{\pi R}{R^4-1} = 0 \end{aligned}$$

残りの経路での積分を考える。

$L_{R,\delta}$ と $L_{\varepsilon,\delta}$ が求めたい積分である：

$$\begin{aligned} &\lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{L_{R,\delta}+L_{\varepsilon,\delta}} \dfrac{dz}{z^4-1}\\ &=\lim_{R \to \infty} \int_{L_{R,\delta}} \dfrac{dz}{z^4-1} +\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{L_{\varepsilon,\delta}} \dfrac{dz}{z^4-1}\\ &= p.v. \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dz}{z^4-1} \end{aligned}$$

残りは，$c_{\varepsilon} (1)$ と $c_{\varepsilon}(-1)$ での積分である。$c_{\varepsilon} (1)$ について考える。

$\dfrac{1}{z^4-1}$ の $1$ 周りのローラン展開を $\dfrac{c_{-1}}{z-1} + h(z)$（$h(z)$ は次数が非負の部分）ととる。このとき $h(z)$ は $c_{\varepsilon} (1)$ 上で正則である。よって $|h(z)|$ は $c_{\varepsilon} (1)$ 上で最大値を取る。

こうして $$\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \int_{c_{\varepsilon} (1)} h(z) \; dz \right| &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{c_{\varepsilon} (1)} |h(z)| \; dz\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0} \pi \varepsilon \max_{z \in c_{\varepsilon} (1)} (|h(z)|)\\ &= 0 \end{aligned}$$ と評価される。一方 $$\begin{aligned} \int_{c_{\varepsilon} (1)} \dfrac{c_{-1}}{z-1} \; dz &= \int_{\pi}^{2\pi} i c_{-1} \; dz\\ &= \pi i c_{-1}\\ &= \pi i \; \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^4-1} , 1 \right)\\ &= \dfrac{\pi i}{4} \end{aligned}$$ である。こうして $$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{c_{\varepsilon} (1)} \dfrac{dz}{z^4-1} = \dfrac{\pi i}{4}$$ である。同様に $$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{c_{\varepsilon} (-1)} \dfrac{dz}{z^4-1} = -\dfrac{\pi i}{4}$$ となる。ゆえに $$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{c_{\varepsilon} (-1) + c_{\varepsilon} (1)} \dfrac{dz}{z^4-1} = \dfrac{\pi i}{4}-\dfrac{\pi i}{4} = 0$$

以上を合わせると $$\begin{aligned} &p.v. \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dz}{z^4-1}\\ &= \lim_{R \to \infty} \int_{L_{R,\delta}} \dfrac{dz}{z^4-1} + \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{c_{\varepsilon} (-1) + c_{\varepsilon} (1) + L_{\varepsilon,\delta}} \dfrac{dz}{z^4-1}\\ &= \lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \oint_{C} \dfrac{dz}{z^4-1}\\ &= - \dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$

が得られる。

$C$ を偏角が $0$ から $\dfrac{2}{n}\pi$ で半径が $R$ の扇形の周とする。向きは反時計回りにつける。また下図のように $C$ のうち実軸上の部分を $C_1$，円弧の部分を $C_2$，$0$ と $Re^{\frac{2\pi}{n}i}$ を結ぶ直線を $C_3$ とする。

$\dfrac{z^{m-1}}{z^n+1}$ は $C$ 内に1位の特異点 $z = e^{\frac{\pi}{n}i}$ を持つ。よって留数定理より $$\oint_C \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1} dz = 2\pi i \; \mathrm{Res} \left( \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1} , e^{\frac{\pi}{n}i} \right)$$ である。右辺を計算しよう。 $$\begin{aligned} &\mathrm{Res} \left( \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1} , e^{\frac{\pi}{n}i} \right)\\ &= \lim_{z \to e^{\frac{\pi}{n}i}} (z-e^{\frac{\pi}{n}i}) \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1}\\ &= \lim_{z \to e^{\frac{\pi}{n}i}} \dfrac{z^{m-1}}{(z-e^{\frac{3\pi}{n}i})(z-e^{\frac{5\pi}{n}i}) \cdots (z-e^{\frac{(2n-1)\pi}{n}i})}\\ &= \dfrac{(e^{\frac{\pi}{n}i})^{m-1}}{(e^{\frac{\pi}{n}i}-e^{\frac{3\pi}{n}i})(e^{\frac{\pi}{n}i}-e^{\frac{5\pi}{n}i}) \cdots (e^{\frac{\pi}{n}i}-e^{\frac{(2n-1)\pi}{n}i})}\\ &=\dfrac{e^{\frac{(m-1)\pi}{n}i}}{e^{\frac{\pi}{n}i \cdot (n-1)} (1-e^{\frac{2\pi}{n}i})(1-e^{\frac{4\pi}{n}i}) \cdots (1-e^{\frac{2(n-1)\pi}{n}i})} \end{aligned}$$ と計算されるが，$e^{\frac{2k\pi}{n}i}\; (k = 1, \cdots n)$ は $z^n=1$ の解であるため， $$\begin{aligned} (z^n-1) &= (z-e^{\frac{2\pi}{n}i}) \cdots (z- e^{\frac{2n\pi}{n}i})\\ &= (z-1) (z-e^{\frac{2\pi}{n}i}) \cdots (z-e^{\frac{2(n-1)\pi}{n}i}) \end{aligned}$$ となる。$(z^n-1) = (z-1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots 1)$ と合わせて $$z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots 1 = (z-e^{\frac{2\pi}{n}i})(z-e^{\frac{4\pi}{n}i}) \cdots (z-e^{\frac{2(n-1)\pi}{n}i})$$ である。こうして $$\begin{aligned} &\mathrm{Res} \left( \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1} , e^{\frac{\pi}{n}i} \right)\\ &= \dfrac{e^{\frac{(m-1)\pi}{n}i}}{e^{\frac{\pi}{n}i \cdot (n-1)} (1-e^{\frac{2\pi}{n}i})(1-e^{\frac{4\pi}{n}i}) \cdots (1-e^{\frac{2(n-1)\pi}{n}i})}\\ &= \dfrac{e^{\frac{(m-1)\pi}{n}i}}{e^{\frac{(n-1)\pi}{n}i}n }\\ &=- \dfrac{e^{\frac{m\pi}{n}i}}{n} \end{aligned}$$ を得る。

$C_1$ 上の積分は $$\lim_{R \to \infty} \int_{C_1} \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1} dz = \int_0^{\infty} \dfrac{x^{m-1}}{x^n+1} dx$$ となり求めたい積分。

$C_2$ 上の積分はこれまでの例と同様に $$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_2} \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1} dz \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_0^{\frac{2}{n}\pi}\dfrac{R^{m}}{R^n - 1} d\theta\\ &= 0 \end{aligned}$$ と計算できる。

$C_3$ 上の積分を考える。$z= e^{\frac{2\pi}{n}i}x$ と置換すれば次のように計算される。 $$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \int_{C_3} \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1} dz &= \lim_{R \to \infty} \int_{R}^0 \dfrac{e^{\frac{2\pi(m-1)}{n}i} x^{m-1}}{e^{\frac{2\pi}{n} i \cdot n} x^n + 1} e^{\frac{2\pi}{n}i} dx\\ &= -e^{\frac{2\pi m}{n}i} \lim_{R \to \infty} \int_0^R \dfrac{x^{m-1}}{x^n+1} dx\\ &= -e^{\frac{2\pi m}{n}i} \int_0^{\infty} \dfrac{x^{m-1}}{x^n+1} dx \end{aligned}$$

これらをまとめると $$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \oint_C \dfrac{z^{m-1}}{z^n+1} dz &= (1-e^{\frac{2\pi m}{n}i}) \int_0^{\infty} \dfrac{x^{m-1}}{x^n+1} dx\\ &=- 2\pi i \cdot \dfrac{e^{\frac{m\pi}{n}i}}{n} \end{aligned}$$ を得る。こうして $$\begin{aligned} \int_0^{\infty} \dfrac{x^{m-1}}{x^n+1} dx &= \dfrac{2\pi i}{e^{\frac{2m\pi}{n}i} - 1} \cdot \dfrac{e^{\frac{m\pi}{n}i}}{n}\\ &= \dfrac{2i}{e^{\frac{m\pi}{n}i}-e^{-\frac{m\pi}{n}i}} \cdot \dfrac{\pi}{n} \\ &= \dfrac{\pi}{n \sin \frac{m\pi}{n}} \end{aligned}$$ となる。