フーリエ変換を用いた sinc 関数の積分

ディリクレ積分

0sinxxdx=π2 \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \dfrac{\pi}{2}

ディリクレ積分について

フーリエ変換による積分計算

ステップ1:(逆)フーリエ変換を探す

天下り的ですが,矩形関数 f(x)={1 (x1)0 (x>1) f(x)= \begin{cases} 1 &(|x| \leq 1) \\ 0 &(|x|>1) \end{cases} のフーリエ変換を計算します。

f^(ξ)=11eixξdx=[eixξiξ]11=eiξiξeiξiξ=eiξeiξiξ=2isinξiξ=2sinξξ \begin{aligned} \hat{f} (\xi) &= \int_{-1}^{1} e^{-ix \xi} dx \\ &= \left[\frac{e^{-ix\xi}}{-i\xi}\right]_{-1}^1 \\ &= \frac{e^{-i\xi}}{-i\xi} - \frac{e^{i\xi}}{-i\xi} \\ &= \frac{e^{i\xi}-e^{-i\xi}}{i\xi} \\ &= \frac{2i \sin \xi}{i\xi}\\ &=\frac{2\sin \xi}{\xi} \end{aligned}

sinc 関数が出てきましたね。

ステップ2:逆フーリエ変換を使う

ステップ1の結果を踏まえて f^(ξ)=2sinξξ\hat{f}(\xi)=\dfrac{2\sin \xi}{\xi} を逆フーリエ変換すると f(x)=12πf^(ξ)eixξdξ=12π2sinξξeixξdξ=2π0sinξξeixξdξ\begin{aligned} f(x) &=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{ix\xi}d\xi\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{2\sin \xi}{\xi} e^{ix\xi} d\xi\\ &= \dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin \xi}{\xi} e^{ix\xi} d\xi\\ \end{aligned} となります。

ステップ3:x=0 を代入する

ff の定義式と,上で得られた逆フーリエ変換の式に x=0x = 0 を代入すると 1=2π0sinξξdξ1= \dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin \xi}{\xi} d\xi の2つを得ます。よって 0sinxxdx=π2 \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \dfrac{\pi}{2} となります。

フーリエ変換は実関数の積分で役立つことがあります。