フーリエ変換を用いた sinc 関数の積分

• この記事では，ディリクレ積分をフーリエ変換を使って計算します。

• 複素解析の知識を用いて計算することもできます。→ 留数定理を用いた三角関数の積分

• なお，被積分関数 $\dfrac{\sin x}{x}$ はしばしば sinc 関数（シンク関数）と呼ばれます。

ステップ1：(逆)フーリエ変換を探す

天下り的ですが，矩形関数 $$f(x)= \begin{cases} 1　&(|x| \leq 1) \\ 0　&(|x|>1) \end{cases}$$ のフーリエ変換を計算します。

$$\begin{aligned} \hat{f} (\xi) &= \int_{-1}^{1} e^{-ix \xi} dx \\ &= \left[\frac{e^{-ix\xi}}{-i\xi}\right]_{-1}^1 \\ &= \frac{e^{-i\xi}}{-i\xi} - \frac{e^{i\xi}}{-i\xi} \\ &= \frac{e^{i\xi}-e^{-i\xi}}{i\xi} \\ &= \frac{2i \sin \xi}{i\xi}\\ &=\frac{2\sin \xi}{\xi} \end{aligned}$$

sinc 関数が出てきましたね。

ステップ2：逆フーリエ変換を使う

ステップ1の結果を踏まえて $\hat{f}(\xi)=\dfrac{2\sin \xi}{\xi}$ を逆フーリエ変換すると $$\begin{aligned} f(x) &=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{ix\xi}d\xi\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{2\sin \xi}{\xi} e^{ix\xi} d\xi\\ &= \dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin \xi}{\xi} e^{ix\xi} d\xi\\ \end{aligned}$$ となります。

ステップ3：x=0 を代入する

$f$ の定義式と，上で得られた逆フーリエ変換の式に $x = 0$ を代入すると $$1= \dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin \xi}{\xi} d\xi$$ の2つを得ます。よって $$\int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \dfrac{\pi}{2}$$ となります。