陰関数定理

更新 2023/10/11

$x^2+y^2-1=0$ のように， $F(x,y)=0$ という形で表された関数を陰関数と言います。→陰関数と陽関数の意味と違いについて

陰関数定理とは，（性質のよい）陰関数は，局所的には，ある微分可能な関数 $g(x)$ を用いて $y=g(x)$ と表せるという定理です。

陰関数定理（2次元版）

$f$ を二変数の連続で微分可能な関数とする。
$(p,q)$ を， $f(p , q) = 0,\dfrac{\partial f}{\partial y} (p , q) \neq 0$ を満たす点とする。

このとき， $(p , q)$ の近傍で定義される $g(x)$ という関数があって $f(x , g(x)) = 0$ となる。つまり $f(x,y) = 0$ という形の（性質のよい）関数は局所的に $y = g(x)$ と表せる。

さらに $g(x)$ の微分係数は $\dfrac{dg}{dx} = -\dfrac{f_x}{f_y}$ となる。

陰関数という用語については陰関数と陽関数の意味と違いについてをご覧ください。

簡単な例

f(x,y)=x2+y2−1f(x,y) = x^2 + y^2 - 1f(x,y)=x2+y2−1 とします。このとき，∂f∂y=2y\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2y∂y∂f​=2y です。
f(0,1)=0f(0,1) = 0f(0,1)=0，∂f∂y(0,1)=2\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,1) = 2∂y∂f​(0,1)=2 であるため，ある ggg があって (0,1)(0,1)(0,1) の近くで f(x,g(x))=0f(x,g(x)) = 0f(x,g(x))=0 となります。
実際，g(x)=1−x2g(x) = \sqrt{1-x^2}g(x)=1−x2​ という関数を取ることができます。
x2+y2−1=0x^2 + y^2 - 1 = 0x2+y2−1=0 という陰関数表示から y=1−x2y = \sqrt{1-x^2}y=1−x2​ という陽関数表示に変換されました。
また，fx=2xf_x = 2xfx​=2x，fy=2yf_y = 2yfy​=2y であるため
dgdx=−xy=−x1−x2
\dfrac{dg}{dx} = -\dfrac{x}{y} = -\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}
dxdg​=−yx​=−1−x2​x​
と計算できます。
注意点ggg は −1≦x≦1-1 \leqq x \leqq 1−1≦x≦1 でしか定義されていません。陰関数定理で得られる関数 ggg は R\mathbb{R}R 全体で定義されるとは限りません。
一般に，点を変えると関数 ggg も変わります。実際，(0,−1)(0,-1)(0,−1) で考えると g(x)=−1−x2g(x) = - \sqrt{1-x^2}g(x)=−1−x2​ となります。

多変数版

逆写像定理 を思い出しましょう。
記事でも触れましたが，ヤコビアンは多変数における微分係数のようなものだと思えます。
この考え方を元に陰関数定理を多変数に拡張しましょう。
陰関数定理
OOO を Rn+m\mathbb{R}^{n+m}Rn+m 上の開集合とする。
CrC^rCr 級関数 f:O→Rmf : O \to \mathbb{R}^mf:O→Rm を取る。
p=(p1,⋯ ,pn)∈Rn\boldsymbol{p} = (p_1 , \cdots , p_n) \in \mathbb{R}^np=(p1​,⋯,pn​)∈Rn，q=(q1,⋯qm)∈Rm\boldsymbol{q} = (q_1 , \cdots q_m) \in \mathbb{R}^mq=(q1​,⋯qm​)∈Rm は次を満たす。
f(p,q)=0f(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}) = 0f(p,q)=0
rank (Jf)(p,q)=m\mathrm{rank} \ (Jf)_{(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})} = mrank (Jf)(p,q)​=m
このとき p\boldsymbol{p}p の開近傍 UUU，q\boldsymbol{q}q の開近傍 VVV と CrC^rCr 級微分同相写像 g:U→Vg : U \to Vg:U→V であって
f(x,g(x))=(0,⋯ ,0)
f( \boldsymbol{x} , g(\boldsymbol{x})) = (0, \cdots ,0)
f(x,g(x))=(0,⋯,0)
を満たすものが存在する。
※ 
座標を x=(x1,⋯ ,xn)\boldsymbol{x} = (x_1 , \cdots , x_n)x=(x1​,⋯,xn​)，y=(y1,⋯ ,ym)\boldsymbol{y} = (y_1, \cdots , y_m)y=(y1​,⋯,ym​) によって (x,y)(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})(x,y) と書いた。
例f(x,y,z)=(x2+y,x+z)f(x,y,z) = (x^2+y,x+z)f(x,y,z)=(x2+y,x+z) とします。
f(0,0,0)=(0,0)f(0,0,0) = (0,0)f(0,0,0)=(0,0) です。
f1(x,y,z)=x2+yf_1 (x,y,z) = x^2+yf1​(x,y,z)=x2+y，f2(x,y,z)=zf_2 (x,y,z) = zf2​(x,y,z)=z とおきましょう。
(Jf)(0,0,0)=(∂f1∂x∂f1∂y∂f1∂z∂f2∂x∂f2∂y∂f2∂z)(0,0,0)=(010101)\begin{aligned}
&(Jf)_{(0,0,0)}\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} & \frac{\partial f_1}{\partial z}\\
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} & \frac{\partial f_2}{\partial z}\\
\end{pmatrix}_{(0,0,0)}\\
&= 
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}​(Jf)(0,0,0)​=(∂x∂f1​​∂x∂f2​​​∂y∂f1​​∂y∂f2​​​∂z∂f1​​∂z∂f2​​​)(0,0,0)​=(01​10​01​)​
となります。
よって，陰関数定理の仮定を満たすことが分かります。
g(x)=(−x2,−x)g(x) = (-x^2,-x)g(x)=(−x2,−x) とすると
f(x,g(x))=f(x,−x2,−x)=(0,0)
f(x,g(x)) = f(x,-x^2,-x) = (0,0)
f(x,g(x))=f(x,−x2,−x)=(0,0)
となります。
証明与えられた fff を拡張して逆写像定理が使える形にします。
逆写像定理で得られる逆関数をよく調べると，条件を満たす ggg になっていることが分かります。
さて実際に証明を見てみましょう。
証明
fff の成分表示を (f1,⋯ ,fm)(f_1, \cdots , f_{m})(f1​,⋯,fm​) と書く。
f~:O→Rn+m\tilde{f} : O \to \mathbb{R}^{n+m}f~​:O→Rn+m を
f~(x,y)=(x,(f1(x,y),⋯ ,fm(x,y)))
\tilde{f} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = (\boldsymbol{x}, (f_1 (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) , \cdots , f_m (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})))
f~​(x,y)=(x,(f1​(x,y),⋯,fm​(x,y)))
と定義する。これは CrC^rCr 級で f~(p,q)=(0,q)\tilde{f} (\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}) = (0,\boldsymbol{q})f~​(p,q)=(0,q) となる。
(Jf~)(p,q)=(OIn(Jf)(p,q))
(J\tilde{f})_{(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})}=
\left(
\begin{array}{}
O \quad I_n\\
(Jf)_{(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})}
\end{array}
\right)
(Jf~​)(p,q)​=(OIn​(Jf)(p,q)​​)
とできる。これのランクは n+mn+mn+m であるため (Jf~)(p,q)(J\tilde{f})_{(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})}(Jf~​)(p,q)​ は可逆である。
逆写像定理を用いる。
(p,q)(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})(p,q) の開近傍 UUU と (0,q)(\boldsymbol{0},\boldsymbol{q})(0,q) の開近傍 VVV があって，f~∣U:U→V\tilde{f} \mid_U : U \to Vf~​∣U​:U→V は CrC^rCr 級微分同相写像になる。
f~∣U\tilde{f} \mid_Uf~​∣U​ の CrC^rCr 級逆写像を ϕ\phiϕ とする。
ϕ(x,y)=(ϕ1(x,y),⋯ ,ϕn+m(x,y))
\phi (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =
(\phi_{1} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),
\cdots,
\phi_{n+m} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))
ϕ(x,y)=(ϕ1​(x,y),⋯,ϕn+m​(x,y))
と書くと
f~∘ϕ(x,y)=(ϕ1(x,y),⋯ ,ϕn(x,y),f1(ϕ(x,y)),⋯ ,fm(ϕ(x,y)))=(x,y)\begin{aligned}
&\tilde {f} \circ \phi (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\\
&=
\begin{pmatrix}
\phi_{1} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),
\cdots,
\phi_{n} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),
f_1 (\phi (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})),
\cdots,
f_{m} (\phi (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))
\end{pmatrix}\\
&= (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})
\end{aligned}​f~​∘ϕ(x,y)=(ϕ1​(x,y),⋯,ϕn​(x,y),f1​(ϕ(x,y)),⋯,fm​(ϕ(x,y))​)=(x,y)​
となるため，
ϕ(x,y)=(x,ϕ1(x,y),⋯ ,ϕm(x,y))
\phi (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{x},
\phi_1 (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),
\cdots,
\phi_m (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})
\end{pmatrix}
ϕ(x,y)=(x,ϕ1​(x,y),⋯,ϕm​(x,y)​)
となる。
この ϕ\phiϕ の下 mmm 成分を g~\tilde{g}g~​ とおく。つまり，
g~(x,y)=(ϕ1(x,y),⋯ ,ϕm(x,y))
\tilde{g} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = 
\begin{pmatrix}
\phi_1 (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),
\cdots,
\phi_m (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})
\end{pmatrix}
g~​(x,y)=(ϕ1​(x,y),⋯,ϕm​(x,y)​)
とおく。
定義より f~(x,g~(x,y))=(x,y)\tilde{f} (\boldsymbol{x} , \tilde{g} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})) = (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})f~​(x,g~​(x,y))=(x,y) となる。
y=0=(0,⋯ ,0)y = \boldsymbol{0} = (0, \cdots , 0)y=0=(0,⋯,0) を代入することで
f~(x,g~(x,0))=(x,0)
\tilde{f} (\boldsymbol{x}, \tilde{g} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{0})) =
(\boldsymbol{x},
\boldsymbol{0} )
f~​(x,g~​(x,0))=(x,0)
を得る。
f~(x,g~(x,0))=(x,f1(x,g~(x,0)),⋯ ,fm(x,g~(x,0)))
\tilde{f} (x, \tilde{g} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{0})) =
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{x},
f_1 (\boldsymbol{x}, \tilde{g} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{0})),
\cdots,
f_m (\boldsymbol{x}, \tilde{g} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{0}))
\end{pmatrix}
f~​(x,g~​(x,0))=(x,f1​(x,g~​(x,0)),⋯,fm​(x,g~​(x,0))​)
であったため，g(x)=g~(x,0)g(\boldsymbol{x}) = \tilde{g} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{0})g(x)=g~​(x,0) とおけば
f(x,g(x))=0
f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{0}
f(x,g(x))=0
となる。
なお，ϕ\phiϕ が CrC^rCr 級であることから ggg も CrC^rCr 級である。

座標変換

陰関数定理の別の形として，座標変換の理論が得られます。

陰関数定理による座標変換

$O$ は $\mathbb{R}^{n+m}$ の開集合とする。

$O$ の元の座標を $\boldsymbol{x} = (x_1, \cdots , x_n)$ ， $\boldsymbol{y} = (y_1, \cdots , y_n)$ により $(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})$ と表す。

$f : O \to \mathbb{R}^m$ は

$f(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0}$
$\mathrm{rank} \ (Jf)_{(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})} = m$

を満たすとする。

このとき開集合 $U \subset \mathbb{R}^{n+m}$ ， $V \subset \mathbb{R}^{n+m}$ があって

$\phi : U \to V$ があって， $F \circ \phi^{-1} (\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{x}$ を満たす。

※ $(\boldsymbol{x'} ,\boldsymbol{y'})$ を零点に持つ $f$ に対して $f$ を $f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) - f(\boldsymbol{x'},\boldsymbol{y'})$ に取り換えることで定理の仮定を満たすことができる。

※ $\phi$ ではなく， $\phi^{-1}$ としているのは，多様体という概念を導入するときに，そうしたほうが都合が良くなるからである。

証明は陰関数定理と同様です。

例

$f(x,y) = x^2 + y$ は定理の仮定を満たす。

$\phi^{-1} (x,y) = (y,x-y^2)$ となるように $\phi$ を取れば $f \circ \phi^{-1} (x,y) = x$ となる。

陰関数定理は多様体の例の紹介でまた力を発揮します。