逆写像定理

更新 2023/10/06

逆写像定理（大雑把な説明）

$C^{r}$ 級関数 $f$ について，ある点 $x_0$ で微分が $0$ でない（ヤコビアンが $0$ でない）なら， $x_0$ の付近で逆関数 $f^{-1}$ が存在して $f^{-1}$ も $C^{r}$ 級

※ $C^1$ 級とは，微分可能かつ導関数が連続であることを表します。→C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例

イメージ図

赤い点では微分係数が $0$ でないため， $U$ をうまくとれば $f\mid_U$ （ $f$ を $U$ に制限したもの）の逆写像が取れます。
青い点では微分係数が $0$ であり，どのように $U$ を取っても $f \mid_U$ は逆写像を持ちません。

1次元の逆写像定理の意味と例

逆写像定理（1次元版）
OOO を（R\mathbb{R}R の）開集合とする。
C1C^1C1 級写像 f:O→Rf : O \to \mathbb{R}f:O→R が x∈Ox \in Ox∈O で f′(x)≠0f'(x) \neq 0f′(x)=0 を満たすとする。
このとき，xxx の開近傍 U⊂OU \subset OU⊂O があって，f∣Uf \mid_Uf∣U​（は CrC^{r}Cr 級の逆写像を持つ。
例：三角関数f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R を
f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx とします。
f′(0)=1≠0f'(0) = 1 \neq 0f′(0)=1=0 より，x=0x = 0x=0 に逆写像定理を適用でき，U=(−π2,π2)U = \left( -\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right)U=(−2π​,2π​) とすると f∣Uf \mid_Uf∣U​ は逆写像 g(y)=arcsin⁡yg(y) = \arcsin yg(y)=arcsiny を持ちます。
例：指数関数f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R を
f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex とします。
f′(0)=1≠0f'(0) = 1 \neq 0f′(0)=1=0 より逆写像定理を用いると，ある U⊂RU \subset \mathbb{R}U⊂R があって，f∣Uf\mid_Uf∣U​ が逆写像を持ちます。
特に U=RU = \mathbb{R}U=R とでき，このとき逆写像 g(y)=log⁡yg(y) = \log yg(y)=logy が得られます。

逆写像定理

次は，多次元版です。まずは，定理の主張を述べます。
逆写像定理
OOO を Rn\mathbb{R}^nRn の開集合とする。
fff を OOO から Rn\mathbb{R}^nRn への C1C^1C1 級写像とする。
x∈Ox \in Ox∈O に対してヤコビアン det⁡(Jf)p≠0\det (Jf)_{p} \neq 0det(Jf)p​=0 とする（ヤコビアンが可逆とする）。
このとき，ある ppp の開近傍 UUU と f(p)f(p)f(p) の開近傍 VVV があって，
F∣U:U→V
F \mid_U : U \to V 
F∣U​:U→V
は CrC^{r}Cr 級微分同相写像となる。
逆写像定理の主張を理解するために，以下の1～3を説明します。
多変数関数が C1C^1C1 級とは
ヤコビアンとは
微分同相写像とは
1. 多変数関数が CrC^rCr 級とは定義
O1⊂RnO_1 \subset \mathbb{R}^nO1​⊂Rn，O2⊂RmO_2 \subset \mathbb{R}^mO2​⊂Rm をそれぞれ開集合とする。
F:O1→O2F : O_1 \to O_2F:O1​→O2​ が CrC^{r}Cr 級であるとは，
F=(f1(x1,x2,⋯ ,xn)f2(x1,x2,⋯ ,xn)⋮fm(x1,x2,⋯ ,xn))
F = 
\begin{pmatrix}
f_1 (x_1, x_2, \cdots , x_n)\\
f_2 (x_1, x_2, \cdots , x_n)\\
\vdots\\
f_m (x_1, x_2, \cdots , x_n)
\end{pmatrix}
F=⎝⎛​f1​(x1​,x2​,⋯,xn​)f2​(x1​,x2​,⋯,xn​)⋮fm​(x1​,x2​,⋯,xn​)​⎠⎞​
と成分ごとに書いたときに，各成分 fif_ifi​ が O1O_1O1​ 上で CrC^rCr 級であること（rrr 階の全ての種類の偏導関数が存在してそれらが連続）と定義する。
例F(r,θ)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)F(r,\theta) = (r \cos \theta , r \sin \theta)F(r,θ)=(rcosθ,rsinθ) は，(0,∞)×(−π,π)(0, \infty) \times (-\pi , \pi)(0,∞)×(−π,π) から R×R\mathbb{R} \times \mathbb{R}R×R への C∞C^{\infty}C∞ 級写像です。
2. ヤコビアンとはヤコビアンは，微分係数の多変数関数バージョンです。
偏微分を並べた行列（ヤコビ行列）の行列式です。詳しくはヤコビ行列，ヤコビアンの定義と極座標の例を参照してください。
3. 微分同相写像とは？定義
CrC^rCr 級写像 F:O1→O2F : O_1 \to O_2F:O1​→O2​ が CrC^rCr 級微分同相写像であるとは，G:O2→O1G : O_2 \to O_1G:O2​→O1​ で
GGG は CrC^rCr 級である。
G∘FG \circ FG∘F，F∘GF \circ GF∘G はそれぞれ O1O_1O1​，O2O_2O2​ 上の恒等写像である。
の2つを満たすものが存在することと定義する。
つまり CrC^rCr 級の逆写像 F−1F^{-1}F−1 が存在することを意味する。
また，このとき O1O_1O1​ と O2O_2O2​ は微分同相であるという。
例先ほど紹介した F(r,θ)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)F(r,\theta) = (r \cos \theta , r \sin \theta)F(r,θ)=(rcosθ,rsinθ) は C∞C^{\infty}C∞ 級微分同相です。
逆写像として G(x,y)=(x2+y2,arctan⁡yx)G(x,y) = \left( \sqrt{x^2 + y^2} , \arctan \dfrac{y}{x} \right)G(x,y)=(x2+y2​,arctanxy​) と取ることができます。
しかし，FFF を (0,∞)×R(0, \infty) \times \mathbb{R}(0,∞)×R 上で定義すると，これは微分同相ではありません。cos⁡\coscos と sin⁡\sinsin の周期性より，F(r,0)=F(r,2nπ)F (r,0) = F(r,2n\pi)F(r,0)=F(r,2nπ) となるため，逆写像が取れません。
このように微分同相は，写像のみならず定義域・値域も含めて考えることで定まります。
ここまでで，逆写像定理の主張が理解できると思います。証明は非常に長いので割愛します。

逆写像とヤコビアン

逆写像定理と関連して，「逆関数の微分公式」の多変数バージョンを紹介します。

逆関数の微分公式は「逆関数の微分はもとの関数の微分の逆数」というものです。 →逆関数の微分公式を例題と図で理解する

定理

$O_1 \subset \mathbb{R}^n$ ， $O_2 \subset \mathbb{R}^m$ を開集合とする。

$F: O_1 \to O_2$ を微分同相写像として， $G$ をその逆写像とする。

$p \in O_1$ を任意に取る。 $q = f(p)$ とする。

$JF_{p}$ は $JG_q$ を逆行列に持つ。特に（ $O_1$ が空集合でないとき） $n = m$ となる。

証明

連鎖律（Chain rule）より， $\dfrac{\partial (G \circ F)_j}{\partial x_i} = \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial G_j}{\partial y_k} \dfrac{\partial F_k}{\partial x_i}$ となる。

上式は $JG$ の $(j,k)$ 成分と $JF$ の $(k,i)$ 成分の積を足したものなので，まさしく行列 $JG \cdot JF$ の $(j,i)$ 成分である。

$G \circ J$ は恒等写像であるため，そのヤコビアンは $I_n$ である。

こうして $JG_q JF_p = (G \circ F)_p = I_n$ となる。

同様に $JF_p JG_q = I_m$ である。

よって $JF_p$ は $JG_q$ を逆行列に持つ。

特にトレースを見ると $\begin{aligned} n &= \mathrm{trace} \ (I_n)\\ &= \mathrm{trace} \ (JG_q JF_p)\\ &= \mathrm{trace} \ (JF_p JG_q)\\ &= \mathrm{trace} \ (I_m)\\ &= m \end{aligned}$ である。

※3つめの等号では，トレースの性質 $\mathrm{trace}(AB)=\mathrm{trace}(BA)$ を用いました。→行列のトレースのいろいろな性質とその証明

次回予告

$x^2 + 2xy - y = 0$ のような $x,y \ \text{の式} = 0$ と表示された関数を陰関数といい， $y = x^2 + 3x$ のような $y= x \ \text{の式}$ と表示された関数を陽関数というのでした。 →陰関数と陽関数の意味と違いについて

陽関数を陰関数に変換する「陰関数定理」という定理があります。これは逆関数定理を用いて証明できます。

そしてこの定理が「多様体」の概念の扉になるのです。

ヤコビアンが多変数版の微分係数であることがよくわかりますね。