解析

$s > 1$ なる実数に対して，ゼータ関数 $\zeta(s)$ は以下のように定義される：

$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}=\dfrac{1}{1^s}+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\cdots$

楕円曲線 $E$ の階数は，$E$ の $L$ 関数 $L(s, E)$ の $s=1$ における零点の位数に等しい。

円周率 $\pi$ は無理数である。

（実数上の）楕円曲線とは， $$y^2 = x^3 + ax + b$$ により表される曲線である。ただし，$x^3 + ax + b = 0$ は重解を持たないとする。

任意の実数 $\theta$ に対して，
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

• $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
  が成立するとき，関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続という。

• また，定義域（考えている区間内）の任意の点 $a$ で関数 $f$ が連続のとき，$f$ を連続関数と呼ぶ。

$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$$ $$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$$

$$\displaystyle\int \exp\left(-\dfrac{1}{2}x^{\top}Ax+b^{\top}x\right)dx\\=\sqrt{\dfrac{(2\pi)^n}{\det A}}\exp \left(\dfrac{1}{2}b^{\top}A^{-1}b\right)$$

正の実数 $x$ に対して， $$\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$ を返す関数 $\Gamma(x)$ をガンマ関数と呼ぶ。

任意の複素数 $z=a+bi$ に対して，ネイピア数 $e$ を底とする指数関数は以下を満たす：

$e^z=e^a(\cos b+i\sin b)$

実数全体で定義され，有理数のときに $1$，無理数のときに $0$ を取る関数をディリクレ関数と言う。

$$f(x) = \begin{cases} 1 & (x\in \mathbb{Q}) \\ 0 & (\mathrm{otherwise}) \end{cases}$$

閉区間 $[a,x]$ で $n$ 回微分可能な関数 $f$ について， $$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)}(a)\dfrac{(x-a)^{k}}{k!}+f^{(n)}(c)\dfrac{(x-a)^n}{n!}$$

を満たす $c\:(a < c < x)$ が存在する。

変数分離形の微分方程式とは，
$\dfrac{dy}{dx}=p(x)q(y)$
のように，$\dfrac{dy}{dx}=$($x$ の関数)×($y$ の関数)と表せる微分方程式のこと。

$|x| < 1$ なる複素数 $x$ と，任意の複素数 $\alpha$ に対して $$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$$ が成立する。

$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ が絶対収束すれば，もとの級数自身も収束する。

有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ。

$f(x)$ が周期 $T$ の「まともな」関数なら

$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)$

ただし， $$a_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dx$$ $$b_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\sin\dfrac{2\pi nx}{T}dx$$

多変数関数 $f(x_1 , \cdots , x_n)$ が点 $p = (p_1 , \cdots, p_n)$ において，$f_{x_1} (p) = \cdots = f_{x_n} (p) = 0$（偏微分がすべて $0$）を満たし，さらに，

• $p$ での $f$ のヘッセ行列が正定値である場合，極小値をとる。
• $p$ での $f$ のヘッセ行列が負定値である場合，極大値をとる。

$r_0\leq r\leq r_0+\Delta r$，$\theta_0\leq \theta\leq \theta_0+\Delta \theta$，$\phi_0\leq \phi\leq \phi_0+\Delta \phi$ の部分の体積は，$\Delta r,\Delta\theta,\Delta\phi$ が十分小さい（$0$ に近い）とき，

$r_0^2\sin\theta_0\Delta r\Delta\theta\Delta\phi$

に近づく。

$n$ 次元ベクトル $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n)$ および $1\leqq p< \infty$ なる $p$ に対して

$\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}$

を $\overrightarrow{x}$ の $L^p$ ノルムと言い，$\|\overrightarrow{x}\|_p$ と書く。

どの2つを取っても互いに直交するような多項式の集合を直交多項式系と呼ぶ。

$(x,y)$ から $(u,v)$ が定まり，$(u,v)$ から $f$ が定まるとき $$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}$$ となる。

$z = x+ iy\:$（$x,y$ は実数）とする。次の2条件は同値である。

1. $f(z) = u (x,y) + i v (x,y)$ が複素関数の意味で微分可能（正則関数）

2. $u(x,y),v(x,y)$ が（2変数実関数の意味で）全微分可能であり，コーシーリーマンの関係式を満たす。

（ただし，$u,v$ は実数）

べき級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ に対して，以下の1,2を両方満たす $\rho$ （ただし $0\leq \rho \leq\infty$）が存在する：

1. $|z| < \rho$ ならこのべき級数は収束
2. $|z| > \rho$ ならこのべき級数は発散

任意の正の実数 $\varepsilon$ に対して，ある正の実数 $\delta$ が存在して，$0<|x-a|<\delta$ なら $|f(x)-A|< \varepsilon$

が成立するとき，$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A$ とする。

閉曲面 $S$ を貫く水の総量は，その内部 $V$ から湧き出したり，吸い込まれたりする量に等しい。

$$\dfrac{dx}{dt} -3 x = e^t + 1$$ の一般解を求めよ。

$$\dfrac{dx}{dt} = f(t) x^2+ g(t) x +h(t)$$

という形の微分方程式をリッカチ(Riccati)の微分方程式と言う。ただし $f(t),g(t),h(t)$ は与えられた $t$ の関数である。

可積分関数 $f(x)$ のフーリエ変換（Fourier transform）$\hat{f} (\xi)$ を $$\hat{f} (\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx$$ と定める（可積分関数とは $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx < \infty$ を満たす関数のこと）。

数列 $\{a_n\}$ の上極限とは，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\geq n} a_k\right)$ のこと。

数列 $\{a_n\}$ の上極限を $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n$ または $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n$ と書く。

$x_{n+1}=x_n+hf(x_n,t_0+nh)$

という漸化式と $x_0$ に基づいて，$x_1,x_2,\dots$ と順々に計算していく方法。

$f$ を単連結な（つながっていて穴がない）領域 $D$ 内で正則な複素関数とする。$C$ は $D$ 内の単純閉曲線（自分自身と交わらない閉じた曲線）とする。 このとき $$\oint_{C} f(z) \; dz = 0$$ である。

• $D$ を単純閉曲線（自分と交わらない閉じた曲線）で囲まれた領域とする。
• $f$ を領域 $\overline{D} = D \cup \partial D$ で正則な関数とする。

このとき $D$ の内部の任意の点 $z$ で $$f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$ となる（線積分の向きは反時計回り，より厳密には領域の内側から見て左周りに定める）。

$0 < |z-a| < R$ で正則（微分可能）な複素関数 $f(z)$ は，以下のようにべき級数展開できる。 $$f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n$$ ただし，各係数 $a_n$ は $$a_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{|z - a| = r} \dfrac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \; dz$$ で計算できる （$r$ は $0 < r < R$ を満たす実数ならなんでもよい）。

(単純)閉曲線 $C$ と，$C$ で囲まれた領域 $D$ を考える。$D$ 上で $C^1$ 級の任意の関数 $P(x,y)$，$Q(x,y)$ に対して以下が成り立つ。

$$\oint_{C} (P(x,y) \; dx + Q(x,y) \; dy) = \iint_{D} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \; dxdy$$

• 単連結な領域 $D$ 内に，区分的になめらかな単純閉曲線 $C$ がある
• $f(z)$ は $C$ で囲まれた領域で有限個の点 $\{a_1 , a_2 \cdots ,a_n\}$ を除いて正則

このとき， $$\dfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} f(z) \; dz = \sum_{i=1}^n \mathrm{Res} (f , a_i)$$ である。ただし，$\mathrm{Res} (f , a_i)$ は $f(z)$ の $z=a_i$ での留数とする。

複素平面 $\mathbb{C}$ 全体で正則な関数を整関数という。有界な整関数は定数関数のみである。

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)}$
2. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^{a} (x+1)} \quad (0 < a < 1)$
3. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} \;dx$

$\displaystyle\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx$

という式について，

1. $f_n(x)$ が一様収束するなら成立する（十分条件）
2. ただし，一般には成立しない
3. 一様収束しなくても成立することがある（単調収束・一様有界など他の十分条件がある）

リーマン球面とは，複素平面 $\mathbb{C}$ に無限遠点 $\infty$ を追加したものである。リーマン球面を $\hat{\mathbb{C}} , \overline{\mathbb{C}}$ などと書く。

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{dt}{2+\cos t}$
2. $\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\cos 2\theta}{1-2 a \cos \theta +a^2} d\theta \quad (|a| < 1)$
3. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} \; dx$
4. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin x^2 \; dx$
5. $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2} \cos (ax) \; dx \quad (a>0)$

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^2+1}$
2. $\displaystyle p.v. \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^4-1}$
3. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^3+1}$

なお $p.v. \int$ は主値積分を意味する。（補足を参照）

$f$ は，$a$ を孤立特異点として持ち，$$\Delta (a,R) \backslash \{ a \} = \{ z \mid 0 < |z-a| < R \}$$ 上で正則かつ有界な関数とする。このとき，$a$ は除去可能特異点である。すなわち，$f(a)$ を適切に追加で定めれば $f$ は $\Delta (a,R)$ 上で正則にできる。

ベルヌーイ数 $B_n$ を $$\dfrac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^n$$ と定める。

$D$ をなめらかな曲線に囲まれた有界な領域とする。

$f$ を $\partial D$ 上で極も零点も持たない $\overline{D}$ 上の有理型関数とする。

$f$ の $D$ 上の零点の（重複度を含めた）個数を $N$，極の（重複度を含めた）個数を $P$ とする。このとき $$\dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f' (z)}{f(z)} dz = N-P$$ である。

※領域 $D$ を囲うなめらかな曲線は，互いに交わらなければ複数個でも構いません。よって中心に穴が開いた領域にも偏角の原理を適応することができます。

有界閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数 $f$ は，最大値・最小値を取る。

• 実数の集合 $A$ に対して $A$ が有界であるとは，
  「ある実数 $m,M$ が存在して，任意の $x\in A$ に対して $m\leqq x\leqq M$」となることを意味する。

• $A$ 上の関数 $f$ が有界であるとは，$f(A) = \{ y \mid \exists x \in A , f(x) = y \}$ が有界であることを意味する。

実数列 $\{ a_n \}$ が有界であるとき，$\{ a_n \}$ は収束する部分列を持つ。

1. 有界な領域 $D$ 上の正則関数 $f (z)$ について，ある $z_0 \in D$ で $|f|$ が最大値を取るとき，$f$ は定数関数である。

2. (1の対偶) $D$ 上の定数ではない正則関数 $f$ に対して，$|f|$ は $D$ 内で最大値を取らない。

3. $f$ が $\overline{D} = D \cup \partial D$ 上で連続であるとき，$|f|$ は $\partial D$ 上で最大値を取る。

$f,g$ を領域 $D$ 上の正則関数とする。

1. $f,g$ が $D$ 内のある線分・なめらかな曲線上（$D \cap \mathbb{R}$ など）で一致するとき，$D$ 全体でも一致する。
2. $f,g$ が $D$ 内の開集合 $O$ 上で一致するとき，$D$ 全体でも一致する。

※記事の後半でより一般的な主張を紹介します。

距離関数 $d$ を持つ集合 $X$ を 距離空間 といい $(X,d)$ と書く。

2変数 $x,y$ を2変数 $u,v$ に変換する。

このとき $xy$ 平面上の領域 $D$ が $uv$ 平面上の領域 $E$ に一対一に対応するとき，$D$ 上の積分可能関数 $f$ の重積分は次のように計算される。 $$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_E f(x(u,v),y(u,v)) |\det J| dudv$$ ただし $|\det J|$ はヤコビ行列 $J=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{du} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$ の行列式（ヤコビアン）の絶対値である。

なお，$n$ 変数のときも同様に計算される。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

複素数 $\omega_1 , \omega_2$ は $\dfrac{\omega_1}{\omega_2} \notin \mathbb{R}$ を満たすとする。

格子 $\Lambda = \{ n \omega_1 + m \omega_2 : n,m \in \mathbb{Z} \}$ に対するワイエルシュトラスのペー関数（楕円関数）を $$\wp (z) = \dfrac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda \backslash \{0\}} \left( \dfrac{1}{(z-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} \right)$$ と定める。

$p$ を $1$ 以上の実数とする。$X$ 上で定義された関数 $f$ の $L^p$ ノルムを $$\| f \|_p = \left( \int_{X} |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}$$ で定義する。

$\displaystyle\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx$

は成立するか？

$f$ が $[a,b] \times [c,d]$ 上で

1. 可積分な連続関数
2. 非負な連続関数

のいずれかを満たすなら，以下の式が成り立つ。

$$\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy \end{aligned}$$

つまり逐次積分と重積分は一致する（積分の順序を交換できる）。

3. また，いずれかの順序での（絶対値の）積分値が有限の値になれば，積分の順序を入れ替えてよい。
4. また，有界な閉領域上での連続関数の重積分の順序は入れ替えてよい。

$$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)$$

$$\dfrac{\pi^2}{\sin^2 \pi z} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \dfrac{1}{(z-n)^2}\\ \pi \cot \pi z = \dfrac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2z}{z^2 - n^2}$$

ただし $\cot z = \dfrac{1}{\tan z}$ である。

$\{ f_n \}$ を集合 $A$ 上の実数値関数列とする。

各 $n$ に対して，任意の $x\in A$ に対して $|f_n (x)| < M_n$ となる定数 $M_n$ があり，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_n$ が収束するなら，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)$ は一様収束する。

複素数 $\omega_1 , \omega_2$ は $\dfrac{\omega_1}{\omega_2} \notin \mathbb{R}$ を満たすものとする。

格子 $\Lambda = \{ n \omega_1 + m \omega_2 : n,m \in \mathbb{Z} \}$ に対するワイエルシュトラスのペー関数（楕円関数）を $$\wp (z) = \dfrac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda \backslash \{0\}} \left( \dfrac{1}{(z-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} \right)$$ と定める。

1. $\emptyset \in \mathfrak{F}$
2. $A \in \mathfrak{F}$ であれば $A^c \in \mathfrak{F}$
3. $A,B \in \mathfrak{F}$ であれば $A \cup B \in \mathfrak{F}$

$X$ 上の関数 $f$ が可測であるとは，任意の $a \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$ に対して $$E (f > a) = \{ x \in X \mid f(x) > a \}$$ が可測集合になることを指す。

$\displaystyle\lim_{|\Delta |\to 0}S_{\Delta,\xi}$ が，$\Delta$ や $\xi$ によらず一定値 $\alpha$ に収束するとき，$f(x)$ は $[a,b]$ 上でリーマン積分可能と言う。この値 $\alpha$ を $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ と書きリーマン積分と呼ぶ。

定数係数の $n$ 階斉次線形微分方程式 $$\dfrac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1} \dfrac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{1} \dfrac{dx}{dt} + a_0 x = 0 \quad \cdots \quad (\mathrm{i})$$ の解の集合は，$n$ 次元のベクトル空間になる。

$$\int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \dfrac{\pi}{2}$$

フーリエ変換によって関数の畳み込みと積は入れ替わる。すなわち， $$\widehat{f*g} (\xi) = \hat{f} (\xi) \hat{g} (\xi)$$ となる。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

位相空間 $X$ が以下を満たすとき $X$ はコンパクトまたはコンパクト空間であるという：

$X$ の任意の開被覆に対して有限部分被覆が存在する。

$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)^3} - \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+2)^3} = \dfrac{4\pi}{81\sqrt{3}}$$

任意の $\varepsilon > 0$ に対して，ある $N$ が存在して，$n > N$ なら $|a_n-\alpha| <\varepsilon$ を満たすとき，数列 $\{ a_n \}$ は $\alpha$ に収束するといい，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と書く。

任意の $\varepsilon > 0$ に対して，ある $N$ が存在して，$n > N$ なら $|a_n-\alpha| <\varepsilon$ を満たすとき，数列 $\{ a_n \}$ は $\alpha$ に収束するといい，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と書く．

$p > \dfrac{1}{2}$ に対して，次の値を求めよ。

$$\dfrac{1}{\Gamma (\frac{1}{2p})} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin (x^p)}{\sqrt{x}} dx$$

ただし，正の実数 $x$ に対して，$\Gamma (x)$ は次式で与えられるものとする。 $$\Gamma (x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$$

初期値が $x(1) = a$，$\dfrac{dx}{dt} (1) = b$ となる微分方程式 $$\dfrac{d^2 x}{dt^2} - \dfrac{2}{t^2} x = \dfrac{2}{t}$$ の解 $x(t)$ を求めよ。

ただし $t$ は正の実数とする。

$$\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} = \prod_{p} \dfrac{1}{1-\frac{1}{p^s}}$$

任意の $\varepsilon > 0$ に対して，ある $N$ が存在して，$n > N$ なら $|a_n-\alpha| <\varepsilon$ を満たすとき，数列 $\{ a_n \}$ は $\alpha$ に収束するといい，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と書く．

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

数列 $\{ a_n \}$ がコーシー列であるとは， $$\lim_{n,m \to \infty} |a_n - a_m| = 0$$ であることを表す。

イプシロンデルタ論法の表現できちんと述べると，

任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し，ある正の整数 $N$ があって，$N$ より大きい任意の整数 $n,m$ に対して $$| a_n - a_m | < \varepsilon$$ となることを表す。

$C^{r}$ 級関数 $f$ について，ある点 $x_0$ で微分が $0$ でない（ヤコビアンが $0$ でない）なら，$x_0$ の付近で逆関数 $f^{-1}$ が存在して $f^{-1}$ も $C^{r}$ 級

• $f$ を二変数の連続で微分可能な関数とする。

• $(p,q)$ を，$f(p , q) = 0,\dfrac{\partial f}{\partial y} (p , q) \neq 0$ を満たす点とする。

このとき，$(p , q)$ の近傍で定義される $g(x)$ という関数があって $f(x , g(x)) = 0$ となる。つまり $f(x,y) = 0$ という形の（性質のよい）関数は局所的に $y = g(x)$ と表せる。

さらに $g(x)$ の微分係数は $\dfrac{dg}{dx} = -\dfrac{f_x}{f_y}$ となる。

多様体とは，局所的にユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ と微分同相になる空間である。

次の2つがポイントである。

1. 球など曲がった図形をユークリッド空間と見なすことができる。
2. 微分を考えることができる。

位相空間 $X$ がハウスドルフ空間であるとは，任意の異なる2点 $x,y \in X$ に対して，ある開近傍 $x \in U$，$y \in V$ であり $U \cap V = \emptyset$ となるものが存在することである。

$V$ を実ベクトル空間とする。$x,y\in V$ に対して実数を定める関数 $\langle x,y \rangle :V\times V\to \mathbb{R}$ が以下の1～4を満たすとき，$\langle \ , \ \rangle$ を内積といい，$V$ を内積空間（計量ベクトル空間）という。

1. $\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle$（エルミート性）
2. $\langle x + ay , z \rangle = \langle x,z \rangle + a\langle y,z \rangle$（$x,y,z \in V$，$a \in \mathbb{R}$）（線型性）
3. $\langle x,x \rangle \geqq 0$（正定値性）
4. $\langle x,x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0$（非退化性）

$V$ は（複素）ベクトル空間とする。

$\| \ \|:V\to\mathbb{R}$　が以下の1～4を満たすときに，$\| \ \|$ をノルムといい，$V$ をノルム空間という。

1. $\| x+y \| \leqq \| x \| + \| y \|$（三角不等式）
2. $\| cx \| = |c| \| x \|$（$x \in V$，$c \in \mathbb{C}$）
3. $\| x \| \geqq 0$
4. $\| x \| = 0 \iff x = 0$

$V$ を実ベクトル空間とする。

$\mathbb{R}$ への線型写像 $\phi : V \to \mathbb{R}$ を線型汎関数という。

線型汎関数の集合を $$V^{\ast} = \{ \phi : V \to \mathbb{R} \mid \phi \ \text{は線型写像} \}$$ と定める。

$V^{\ast}$ に和とスカラー倍を以下のように定めると，$V^{\ast}$ はベクトル空間になる。

1. $(\phi + \psi) (x) = \phi (x) + \psi (x)$
2. $(c \phi) (x) = c \phi (x)$

$V^{\ast}$ を $V$ の双対ベクトル空間という。

※ 和の単位元は任意の $x$ を $0$ に送る線型写像である。

※ 複素ベクトル空間に対しても $V$ から $\mathbb{C}$ への線型写像の集合を考えれば双対ベクトル空間が得られる。

$X$ を位相空間とする。$X$ の部分集合 $V$ が 近傍 であるとは，$x$ が $V$ の内部にあること，つまり $x \in V^{\circ}$ であることである。

$x$ の近傍全体の集合を $x$ の近傍系 という。

実ノルム空間 $V$ について，中線定理 $$\| x+y \|^2 + \| x-y \|^2 = 2 \left( \| x \|^2 + \| y \|^2 \right)$$ が成立するとき， $$\langle x,y \rangle = \dfrac{1}{4} (\| x+y \|^2 - \| x-y \|^2)$$ により内積が定まる。

またこうして得られた内積において $$\langle x,x \rangle = \| x \|$$ となる。

ガンマ関数とゼータ関数は複素数全体に拡張（解析接続）される。

ディガンマ関数 $\psi (z)$とは，ガンマ関数の対数微分，すなわち $$\psi (z) = \dfrac{d}{dz} \log \Gamma (z)$$ のことである。

• $\{ f_n \}$ は $[a,b]$ 上の微分可能な関数列で $f$ に収束

かつ

• $\{f'_n\}$ は $[a,b]$ 上で一様収束

ならば， $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}' (x) = f'(x)$$ となる。つまり，微分と極限が交換できる。

$z \in \mathbb{C}$ に対して，ガンマ関数を $$\Gamma(z)= \lim_{n\to\infty} \dfrac{n^zn!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}$$ と定義することができる。

$$\exp \left( \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} \right) =\frac{\Gamma (x)}{\sqrt{2\pi}}$$

ただし，$\zeta (s,x)$ はフルヴィッツのゼータ関数 $$\zeta (s,x) =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+x)^s}$$ である。$(s>1 , x> 0)$

$\mathbb{R}^{n+1} \backslash \{ O \}$ に次のように同値関係 $\sim$ を定める。

$x = (x_0 , \cdots , x_n) , y = (y_0 , \cdots , y_n)$ に対して $$\begin{aligned} &\text{すべての} \ i \ \text{に対して} \ x_i = c y_i \ (c \neq 0) \\ &\iff x \sim y \end{aligned}$$

この同値関係による商 $(\mathbb{R}^{n+1} \backslash \{ O \}) / \sim$ を射影空間 $\mathbb{R} P^n$と定義する。

$F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ を $C^r$ 級関数とする。$Z(F) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid F(x) = \mathbf{0} \}$ とする。

任意の $p \in Z(F)$ において $\mathrm{rank} \ (JF)_p = m$ であれば $Z(F)$ は $C^r$ 級可微分多様体である。