ワイエルシュトラスのペー関数～証明編

不等式パート

定数 $M>0$ を任意に取る。

$|z| < M$ かつ $|\omega|>2M$ ならば， $$\left| \dfrac{1}{(z-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} \right| \leqq \dfrac{10M}{|\omega|^3}$$ が成立することを示す。まず， $$\dfrac{1}{(z-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} = \dfrac{2z \left( 1 - \dfrac{z}{2\omega} \right)}{\omega^3 \left( 1-\dfrac{z}{\omega} \right)^2}$$

さらに $|\omega| > 2M$ のもとで， $$\begin{aligned} |z| &\leqq \dfrac{1}{2} \cdot 2M \leqq \dfrac{1}{2} |\omega| \\ |z-\omega| &\geqq |\omega| - |z|\\ &\geqq |\omega| - M\\ &\geqq \dfrac{1}{2} |\omega| \end{aligned}$$ であるため， $$\begin{aligned} \left| 1-\dfrac{z}{2\omega} \right| &\leqq 1 + \dfrac{|z|}{2|\omega|}\\ &\leqq 1 + \dfrac{1}{2|\omega|} \dfrac{|\omega|}{2}\\ &= \dfrac{5}{4}\\ \left| 1-\dfrac{z}{\omega} \right| &= \dfrac{|\omega - z|}{|\omega|}\\ &\geqq \dfrac{|\omega|}{2} \dfrac{1}{|\omega|}\\ &= \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ である。こうして $$\begin{aligned} \left| \dfrac{1}{(z-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} \right| &= \dfrac{2|z|}{|\omega|^3} \dfrac{\left| 1 - \dfrac{z}{2\omega} \right|}{\left| 1-\dfrac{z}{\omega} \right|}\\ &\leqq \dfrac{2 M}{|\omega|^3} \cdot \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{2}{1}\\ &= \dfrac{10M}{|\omega|^3} \end{aligned}$$ を得る。

収束パート

$\displaystyle\sum_{\omega \in \Lambda \backslash \{0\}} \left( \dfrac{1}{(z-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} \right)$

が収束することを示したい。$|\omega|\leqq 2M$ の部分の和は有限個なので無視する。$|\omega|>2M$ の部分では上の不等式が使える。

よって， $\displaystyle\sum_{\omega \in \Lambda \backslash \{ 0 \},|\omega|>2M} \dfrac{1}{|\omega|^3}$ が収束することを示せばよい。

$\omega$ は格子 $\{a\omega_1+b\omega_2\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ 全体を動くが，$\max\{|a|,|b|\}$ でグループ分けして考える。この第 $n$ グループの $\omega$ を集めた集合を $P_n$ とおく： $$P_n = \{ a \omega_1 + b \omega_2 \mid a,b\in\mathbb{Z},\max (|a|,|b|) = n \}$$

$\max\{|a|,|b|\}=n$ となるのは（正方形の周上の格子点の数を数えて）$8n$ 個である。さらに，$r>0$ を十分小さく取れば，任意の $n,\omega\in P_n$ に対して $|\omega|\geqq nr$ となるようにできる。（任意の $\omega\in P_1$ に対して $|\omega|\geqq r$ となるような小さい $r$ を取ればよい）

よって $$\begin{aligned} \sum_{\omega \in \Lambda \backslash \{ 0 \}} \dfrac{1}{|\omega|^3} &= \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{\omega \in \Lambda \cap P_n} \dfrac{1}{|\omega|^3}\\ &\leqq \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{8n}{n^3 r^3}\\ &= \dfrac{1}{r^3} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} < \infty \end{aligned}$$ であり，収束する。

• ステップ1

$$\begin{aligned} F(z) &= \wp (z) - \dfrac{1}{z^2}\\ &= \sum_{\omega \in \Lambda \backslash \{0\}} \left( \dfrac{1}{(z-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} \right) \end{aligned}$$ とおく。$F$ は $\mathbb{C} \backslash \Lambda$ で正則である。

$$F (0) = \sum_{\omega \in \Lambda \backslash \{0\}} \left( \dfrac{1}{(-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} \right) = 0$$ であるため，$F$ は特に $z=0$ 近傍で正則である。よって $z=0$ でテイラー展開ができる。

また $$\begin{aligned} F(-z) &= \wp (-z) - \dfrac{1}{(-z)^2}\\ &= \wp (z) - \dfrac{1}{z^2}\\ &= F (z) \end{aligned}$$ であるため，$F$ は偶関数である

よって $$F(z) = \lambda z^2 + \mu z^4 + h(z) z^6$$ とテイラー展開される。

こうして $$\wp (z) = \dfrac{1}{z^2} + \lambda z^2 + \mu z^4 + h(z) z^6$$ と表される。

$$\wp' (z) = -\dfrac{2}{z^3} + 2 \lambda z + 4 \mu z^3 + 6 h(z) z^5 + h'(z) z^6$$ となる。

• ステップ2

$k(z) = \{ \wp' (x) \}^2 - 4 \{\wp (z)\}^3 + 20 \lambda \wp (z) + 28 \mu$ とおく。$k$ は $\mathbb{C} \backslash \{ 0 \}$ で正則である。

$$\begin{aligned} k(z) &= \left( \dfrac{4}{z^6} - \dfrac{8}{z^2} - 16 \mu + z h_1 (z) \right)\\ &\quad\quad - 4 \left( \dfrac{1}{z^6} + \dfrac{3\lambda}{z^2} + 3\mu + z^2 h_2 (z) \right)\\ &\quad\quad + 20 \lambda \left( \dfrac{1}{z^2} + z^2 h_3 (z) \right ) + 28 \mu\\ &= z ( h_1 (z) - 4 z h_2 (z) + 20 \lambda z h_3 (z) ) \end{aligned}$$ （ただし，$h_i (z)$ で $z$ の多項式を表す）より $k(0) = 0$ となる。

よって $k(z)$ は $z=0$ 近傍で正則である。

• ステップ3

また $\wp$ と $\wp'$ の周期性より，$k$ の二重周期関数である。よって $k$ は各格子点近傍でも正則となる。

こうして $k$ は複素平面全体で正則な関数，すなわち整関数である。

$\wp$，$\wp'$ は $z \neq \omega_1 , \omega_2 , \omega_1 + \omega_2$ で有界値に収束するため，$k(z)$ もまたそうである。

$k$ の周期性より，格子上で $k = 0$ である。

以上より リュウビルの定理 から $k(z)$ は有界値を取る整関数である。

$k(0) = 0$ より $k(z) \equiv 0$ となり，等式が従う。

単位格子の外の点も平行移動によって単位格子内の点として扱って考える。これはペー関数の周期性より問題ない。（より高度な表現をすると，$\mathbb{C} / \Lambda$ と $C_{\Lambda}$ が1対1対応することを示す。）

単射性

$(\wp (z),\wp' (z)) = (\wp (w), \wp' (w))$ とする。

前述した通り，$\wp (z) = \wp (w)$ の解は $z = w, -w + \Lambda$ となる。（$\Lambda$ で $\omega_1$，$\omega_2$，$\omega_1 + \omega_2$ のいずれかを表すことにする。）

ここで $\wp'$ の周期性と奇関数性から $$\begin{aligned} \wp' (w) &=\wp' (z)\\ &= \wp' (-w+\Lambda)\\ &= \wp' (-w)\\ &= - \wp' (w) \end{aligned}$$ である。

これを満たすのは $w = \dfrac{\omega_1}{2} , \dfrac{\omega_2}{2} , \dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ のときのみで，どのときも $z = w$ となる。

全射性

$z$ を格子点とすると，$(\wp (z),\wp' (z))$ は無限遠点 $\infty$ に対応する。

無限遠点ではない点 $(z_1 , z_2) \in C_{\Lambda}$ を任意に取る。

$\wp (z)$ は任意の複素数値を持つため，ある $z_0$ があって $\wp (z_0) = z_1$ である。

このとき $\wp' (z_0) = z_2$ である。